非正弦周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分解

前面章節(jié)中已對(duì)直流電路與正弦交流電路的分析計(jì)算方法作了詳細(xì)介紹，當(dāng)電路的激勵(lì)源為直流或正弦交流電源時(shí)，可用所述方法對(duì)電路進(jìn)行分析計(jì)算。但是在實(shí)際電氣系統(tǒng)中，卻經(jīng)常會(huì)遇到非正弦的激勵(lì)源問(wèn)題，例如電力系統(tǒng)的交流發(fā)電機(jī)所產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)，其波形并非理想的正弦曲線，而是接近正弦波的周期性波形。即使是正弦激勵(lì)源電路，若電路中存在非線性器件時(shí)，也會(huì)產(chǎn)生非正弦的響應(yīng)。在電子通信工程中，遇到的電信號(hào)大都為非正弦量，如常見(jiàn)的方波、三角波、脈沖波等，有些電信號(hào)甚至是非周期性的。

對(duì)于線性電路，周期性非正弦信號(hào)可以利用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)把它分解為一系列不同頻率的正弦分量，然后用正弦交流電路相量分析方法，分別對(duì)不同頻率的正弦量單獨(dú)作用下的電路進(jìn)行計(jì)算，再由線性電路的疊加定理，把各分量疊加，得到非正弦周期信號(hào)激勵(lì)下的響應(yīng)。這種將非正弦激勵(lì)分解為一系列不同頻率正弦量的分析方法稱為諧波分析法。

設(shè)周期函數(shù)的周期為T，則有：

（k為任意整數(shù)）

如果函數(shù)滿足狄里赫利條件，那么它就可以分解成為傅里葉級(jí)數(shù)。一般電工技術(shù)中所涉及的周期函數(shù)通常都能滿足狄里赫利條件，能展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，在后面討論中均忽略這一問(wèn)題。

對(duì)于上述周期函數(shù)，可表示成傅里葉級(jí)數(shù)：

（6-1-1）

或 （6-1-2）

式中，稱為基波角頻率；二式中系數(shù)之間有關(guān)系式：

或 （6-1-3）

展開(kāi)式中除第一項(xiàng)外,每一項(xiàng)都是不同頻率的正弦量，稱為周期函數(shù)的直流分量（恒定分量），第二項(xiàng)稱為基波分量，基波角頻率，其變化周期與原函數(shù)周期相同，其余各項(xiàng)（的項(xiàng)）統(tǒng)稱為高次諧波。高次諧波分量的頻率是基波頻率的整數(shù)倍。當(dāng)時(shí)稱為二次諧波，時(shí)稱為三次諧波等等。是第n次諧波的初相角。

當(dāng)已知時(shí)，傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式中各諧波分量的系數(shù)可由下面公式求得：

（6-1-4）

下面用一個(gè)具體例子來(lái)進(jìn)行傅里葉分解。

例6-1-1 圖6-1-1所示為對(duì)稱方波電壓，其表達(dá)式可寫為：

求此信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。

圖 6-1-1

解：根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)推導(dǎo)公式，可得

由此可得所求信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為

在實(shí)際工程計(jì)算中，由于傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為無(wú)窮級(jí)數(shù)，因此要根據(jù)級(jí)數(shù)展開(kāi)后的收斂情況，電路頻率特性及精度要求，來(lái)確定所取的項(xiàng)數(shù)。一般只要取前面幾項(xiàng)主要諧波分量即可。例如對(duì)于上述方波展開(kāi)的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式，當(dāng)取不同項(xiàng)數(shù)合成時(shí)，其合成波形畫于圖6-1-2中。由圖可見(jiàn)，當(dāng)取諧波項(xiàng)數(shù)越多時(shí)，合成波形就越接近于原來(lái)的理想方波，與原波形偏差越小。

圖 6-1-2

在對(duì)一些非正弦周期信號(hào)展開(kāi)時(shí)，可根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)來(lái)確定展開(kāi)式中的系數(shù)變化情況。如果函數(shù)為偶函數(shù)，，波形對(duì)稱于Y軸（見(jiàn)圖6-1-3a），此時(shí)它的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中不存在項(xiàng)諧波，即有，此項(xiàng)不必計(jì)算。如果函數(shù)為奇函數(shù)，即有，波形對(duì)稱于原點(diǎn)（見(jiàn)圖6-1-3b），它的傅里葉級(jí)數(shù)中不包含項(xiàng)諧波與直流分量，即有，。如果函數(shù)滿足，即將波形移動(dòng)半個(gè)周期后與原波形對(duì)稱于X軸（見(jiàn)圖6-1-3c），則其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)后不包含偶次諧波分量，即有。關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)的詳細(xì)討論可參見(jiàn)有關(guān)書籍。

圖 6-1-3

非正弦周期信號(hào)除了可以表示成上述三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式外，還可表示成指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)形式。已知函數(shù)可展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)

利用歐拉公式

可得：

因?yàn)?SUB sizset="47" sizcache="3">對(duì)于變量n為奇函數(shù)，故有：

同時(shí)當(dāng)時(shí)，因此可以把表達(dá)式中的各項(xiàng)統(tǒng)一表達(dá)為：

（6-1-5）

上式就是傅里葉級(jí)數(shù)復(fù)指數(shù)形式的表達(dá)式，它把一個(gè)周期信號(hào)表示成一系列以為指數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)式，式中：

（6-1-6）

系數(shù)a_n、b_n與傅里葉三角展開(kāi)式中的系數(shù)一致。可由下式直接求出：

或 （6-1-8）

為函數(shù)，它代表了信號(hào)中各諧波分量的所有信息。的模為對(duì)應(yīng)諧波分量的幅值的一半，而的幅角（當(dāng)n取正值時(shí)）則為對(duì)應(yīng)諧波分量的初相角。它是一個(gè)已知信號(hào)的頻域表達(dá)式，與信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式是完全等價(jià)的。稱為給定信號(hào)的頻譜函數(shù)。幅值隨變化的關(guān)系稱為振幅頻譜，的相位隨變化的關(guān)系稱為相位頻譜。由于系數(shù)，，因此振幅頻譜為偶函數(shù)，而相位頻譜則為奇函數(shù)。信號(hào)所包含的各諧波幅值與相位可用幅頻特性和相頻特性圖來(lái)直觀表示。

例6-1-2 周期脈沖信號(hào)如圖6-1-4a所示，求該信號(hào)的頻譜函數(shù)，并作振幅頻譜和相位頻譜圖。

解：由波形圖可知：

頻譜函數(shù)為：

（6-1-9）

若，則可得：

由上式可作出振幅頻譜與相位頻譜圖，如圖6-1-4b、c所示。

圖 6-1-4

從振幅頻譜圖可看出，周期信號(hào)的頻譜圖是一系列離散的譜線組成的，所有譜線都出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率上。周期信號(hào)的這種頻譜稱為離散頻譜。

從頻譜函數(shù)表達(dá)式中可看出，當(dāng)脈沖重復(fù)周期增大時(shí)，基波頻率將變小，譜線之間的間隔縮小，同時(shí)振幅也隨之減小。當(dāng)T無(wú)限增大時(shí)，譜線將趨于無(wú)限密集，即從離散趨于連續(xù)，而幅值卻趨于無(wú)窮小，這時(shí)周期信號(hào)也已轉(zhuǎn)化為非周期信號(hào)。