隨機(jī)噪聲對時(shí)序抖動的影響—理論與實(shí)踐

引言

本文旨在解釋和論證時(shí)序抖動和這三種噪聲源之間的直接關(guān)系。

圖1. 對時(shí)序抖動產(chǎn)生影響的三個(gè)噪聲源。

圖2. 時(shí)鐘信號內(nèi)的隨機(jī)噪聲與雜散信號導(dǎo)致的抖動。抖動會隨時(shí)間積累。

寬帶噪聲對時(shí)序抖動的影響

隨著現(xiàn)代元件的工作帶寬進(jìn)入數(shù)千兆赫茲范圍，寬帶噪聲對時(shí)序抖動的影響變得相當(dāng)突出。例如，一個(gè)寬帶放大器驅(qū)動器的帶寬是40GHz，噪聲系數(shù)是10dB，小信號增益是20dB，輸出功率是0dBm，則它產(chǎn)生的噪聲輸出是-38dBm (-174dBm + 10dB + 20dB + 10log10(40GHz))。這導(dǎo)致38dB的信噪比(SNR)。在這個(gè)SNR水平，寬帶噪聲就是時(shí)序抖動的重要影響因素?？偩礁?RMS)噪聲電壓是噪聲底在頻帶內(nèi)的積分。圖3說明了RMS噪聲是如何轉(zhuǎn)化為時(shí)序抖動的。

圖3. 噪聲電壓y穿越0V，使信號提前t達(dá)到閾值，從而產(chǎn)生了抖動。

從數(shù)學(xué)上來說，可以用下面的公式表示包含寬帶白噪聲的正弦波：

其中A為振幅，是角頻率，v_n(t)為時(shí)刻t處的噪聲電壓。隨機(jī)噪聲v_n(t)具有高斯(正態(tài))分布。噪聲電壓(v_n)的概率分布(v_n)為：

其中(v_nRMS)為RMS噪聲電壓。為了理解噪聲電壓是如何轉(zhuǎn)換為時(shí)序抖動的，可考慮把y(t)施加到抖動測量儀器(如帶直方圖功能的采樣示波器)的輸入端。每次y(t)穿越0V閾值時(shí)，直方圖上就增加一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。正如圖3所示，在時(shí)間t內(nèi)，存在噪聲信號y達(dá)到閾值的可能，因此抖動被加到直方圖中，時(shí)間比預(yù)期的采樣點(diǎn)早或晚t。概率密度為時(shí)序抖動t的函數(shù)，是通過在公式2中設(shè)置v_n = y = Asin(2t)來計(jì)算的。結(jié)果就是抖動分布函數(shù)，如直方圖所示。

假設(shè)t相比正弦曲線周期而言很小，那么可以對公式3進(jìn)行簡化，得到：Asin(2t A(2t = At。

公式3可變?yōu)椋?

把公式4中各項(xiàng)的分子和分母同除以A，得到：

公式5為抖動分布函數(shù)，除比例因子1/A外，它與公式2中的高斯分布相似，因此，得到的RMS抖動為：

圖4所示的測試裝置用來驗(yàn)證公式6。純正弦波信號和寬帶噪聲信號相互疊加，然后輸入采樣示波器，它在零交叉處測量抖動。為了確保測試結(jié)果有意義，設(shè)置的輸入寬帶噪聲要高于示波器的噪聲底。圖5和圖6顯示了實(shí)驗(yàn)結(jié)果。圖5表明在RMS噪聲恒定時(shí)，抖動是頻率的函數(shù)；圖6表明頻率恒定時(shí)，抖動是RMS噪聲的函數(shù)。測量得到的抖動曲線和計(jì)算得到的抖動曲線之間具有相似性，證明公式6可用來把寬帶噪聲轉(zhuǎn)化成時(shí)序抖動。

圖4. 抖動測試裝置#1：噪聲和純正弦波信號疊加。

圖5. 在RMS噪聲一定的情況下，抖動為頻率的函數(shù)。

圖6. 在頻率一定的情況下，抖動為RMS噪聲電壓的函數(shù)。

普通波形的抖動
經(jīng)過稍微修改，公式6還能用于其他波形的抖動轉(zhuǎn)化。根據(jù)定義，公式6中的A項(xiàng)是0V閾值時(shí)的壓擺率S。只要已知該閾值處的壓擺率，任何波形都可用于求出t與y之間的關(guān)系，這是因?yàn)?I sizset="43" sizcache="5">v_n = y = St (圖3)。把它代入公式2得到公式7：

把公式7中各項(xiàng)的分子和分母同除以S，得到：

除比例因子1/S外，公式8與公式2中的高斯分布相似，因此，得到的RMS抖動為：

圖4所示的測試裝置再次用于驗(yàn)證公式9。正弦波曲線用一個(gè)壓擺率可變的方波代替。在方波上升沿的50%處測量抖動。圖7所示結(jié)果表明公式9是正確的。

圖7. 在方波上升沿的50%處測量抖動。

圖7中給出的信息引出了一個(gè)有趣的現(xiàn)象。似乎波形的壓擺率越快，產(chǎn)生的抖動越小。然而，較快的壓擺率要求較高的工作帶寬，這增加了系統(tǒng)中的RMS噪聲。因?yàn)镽MS噪聲與帶寬成正比，因此系統(tǒng)設(shè)計(jì)者必須仔細(xì)選擇壓擺率和帶寬，來使抖動降到最低程度。

相位噪聲對時(shí)序抖動的影響

圖8. 由于振蕩器的噪聲頻率調(diào)制，輸出頻譜中出現(xiàn)“裙邊”效應(yīng)。

受大多數(shù)抖動測量設(shè)備能力所限，與測量低噪聲信號在時(shí)域中的抖動相比，通常更容易通過測量它在頻域中的相位噪聲來確定其純度。例如，多數(shù)抖動測量示波器只能測量低達(dá)1ps_RMS的抖動。大多數(shù)實(shí)時(shí)示波器的帶寬僅為7GHz。而另一方面，相位噪聲設(shè)備能獲得目前最佳的低噪聲示波器的噪聲測量水平(在時(shí)域中遠(yuǎn)小于1ps)，并提供高達(dá)40GHz的帶寬。

在早期的文章[1-2]中我們已經(jīng)探討了相位噪聲和時(shí)序抖動的轉(zhuǎn)換問題。為了得到相位噪聲與抖動的關(guān)系式，可以考慮把公式10作為一個(gè)帶有相位噪聲的正弦曲線：

其中A是振幅, f_o是額定頻率, (t)為相位噪聲。通常在兩個(gè)或多個(gè)周期之間的0V交越處測量抖動。在0V交越處, 公式10括號內(nèi)的各項(xiàng)為2N:

其中t₁為第一個(gè)零交越時(shí)刻，t₂為第N個(gè)零交越時(shí)刻。兩個(gè)公式相減得出：

兩個(gè)交越點(diǎn)之間的時(shí)間為周期數(shù)量加上抖動：

T_O為周期，即1/f_O，t是N個(gè)周期后積累的抖動。把公式14代入公式13得：

重新整理公式15，并消去2N項(xiàng)，得到抖動：

RMS抖動的平方為：

因?yàn)?img onload="if(this.width>620)this.width=620;" onclick="window.open(this.src)" style="cursor:pointer" src="http://editerupload.eepw.com.cn/fetch/20131227/212958_1_47.jpg">(t)是個(gè)穩(wěn)態(tài)過程，所以：

其中S()為(t)的頻譜密度，f為偏移(傅立葉)頻率。公式17的中間項(xiàng)變?yōu)?

其中R()是()的自相關(guān)函數(shù),是經(jīng)過 NT_o個(gè)周期后的時(shí)間。經(jīng)過N個(gè)周期后，在時(shí)刻RMS抖動的平方為：

利用代數(shù)公式1 - cos(2 = 2sin²()，并假設(shè)相位噪聲接近載波并且對稱(就是從-f_OFFSET到0的積分等于0到+f_OFFSET的積分)，公式20可以重寫為：

S()近似等于相位噪聲L() [3]；也就是說，傅立葉頻偏比載波頻偏小得多: f_OFFSET f_O。

為了驗(yàn)證公式22，使用了一個(gè)相位調(diào)制電路[4]，它是圖9所示測試裝置的一部分。相位調(diào)制電路可以非常方便地產(chǎn)生無雜散、可變相位噪聲信號。首先，利用采樣示波器針對時(shí)序抖動測量該電路的輸出，然后用頻譜分析儀(沒有畫出)針對相位噪聲測量其輸出。圖10顯示了該電路的相位噪聲圖。它類似于鎖相振蕩器的噪聲圖，在這種振蕩器中，相位噪聲在環(huán)路帶寬內(nèi)是恒定的，并在帶外滾降。圖11給出了使用數(shù)值積分對公式22求積分后得到的相對于周期的累積抖動。圖11中的曲線證實(shí)了公式22的正確性。

圖9. 抖動測試裝置#2：使用相位調(diào)制器產(chǎn)生相位噪聲和抖動。

圖10. 相位調(diào)制電路的相位噪聲圖形。

圖11. 圖形顯示的是相對于周期的累積抖動，證實(shí)了公式22的正確性。

雜散噪聲對時(shí)序抖動的影響

同樣， NT_o為經(jīng)過N個(gè)周期的時(shí)間。由于公式23未假定雜散信號是對稱的，所以要乘的系數(shù)為4而不是8。在計(jì)算抖動時(shí)，載波兩側(cè)的雜散信號都必須包含在內(nèi)。L(f_n)為雜散信號相對于載波(預(yù)期信號)的振幅，通常以dBc為單位。f_n為n次諧波的頻率偏移。圖12是公式23的波形圖，使用載波兩側(cè)的雜散信號，頻偏為100kHz，振幅為-40dBc。參考文獻(xiàn)1中驗(yàn)證了公式23，方法是用一條正弦波調(diào)制一個(gè)壓控晶體振蕩器，產(chǎn)生載波兩側(cè)的雜散信號(沒有畫出)。

圖12. 公式23的曲線，顯示了載波兩側(cè)產(chǎn)生的雜散信號。

總抖動

結(jié)束語

附錄：計(jì)算RMS噪聲電壓
如果已知某種電子器件的一項(xiàng)或幾項(xiàng)常規(guī)噪聲規(guī)格，那么可以通過多種方法來確定它的總RMS噪聲電壓。表1列出了一些元件制造商們通常提供的噪聲指標(biāo)。

Component	Noise Specification	Unit
Amplifier	Residual noise-floor power density	dBm/Hz
	Noise figure	dB
	Input referred noise density	nV/Hz
Oscillator	Phase noise floor	dBc/Hz

系統(tǒng)的典型負(fù)載阻抗Z_O為50，P_RMS為RMS噪聲功率，BW為帶寬，NOISE-FLOOR是以dBm/Hz為單位的噪聲底密度。例如，一個(gè)放大器的帶寬為10GHz，輸出噪聲密度為-150dBm/Hz，則它產(chǎn)生的總RMS噪聲電壓為707μV_RMS:

噪聲系數(shù)(NF)常用于描述低噪聲放大器和功率放大器噪聲性能。可以從噪聲系數(shù)推導(dǎo)出噪聲底密度，方法是把它與50電阻的熱噪聲相加，再加上系統(tǒng)增益，公式如下：

例如，一個(gè)噪聲系數(shù)為10dB、小信號增益為20dB的放大器的噪聲底密度為-144dBm/Hz。

已知噪聲密度，就可以推出總噪聲電壓。

另一方面，運(yùn)算放大器噪聲特性的表現(xiàn)形式通常是輸入?yún)⒖荚肼?，單位為nV/Hz。假定噪聲電流可忽略，信號源阻抗遠(yuǎn)小于放大器輸入阻抗，那么總RMS噪聲可通過下面公式計(jì)算：

例如：一個(gè)輸入噪聲密度為8nV/Hz、小信號增益為20dB、帶寬為1GHz的放大器產(chǎn)生的噪聲電壓為800μV_RMS：

振蕩器的相位噪聲的單位通常為dBc/Hz。dBc單位表示輸出噪聲對期望信號功率的歸一化。下面的公式可用于計(jì)算總RMS噪聲電壓：

其中P_SIG為振蕩器的輸出功率。例如，某個(gè)振蕩器在50產(chǎn)生的功率為10dBm，輸出相位噪聲底為-150dBc/Hz、有效帶寬為100MHz, 則輸出噪聲電壓為224mV_RMS:

參考文獻(xiàn)

1. Ali Hajimiri et. al., "Jitter and Phase Noise in Ring Oscillators," IEEE Journal of Solid-State Circuits, Vol. 34, No. 6, pp. 790-804.
2. Boris Drakhlis, "Calculate Oscillator Jitter By Using Phase-Noise Analysis," Microwaves RF, Jan. 2001 pp. 82-90 and p. 157.
3. W. F. Egan, Frequency Synthesis by Phase Lock. New York: Wilen, 1981.
4. Enrico Rubiola et. al., "The ±45° Correlation Interferometer as a Means to Measure Phase Noise of Parametric Origin" IEEE Transactions On Instrumentation and Measurement, Vol. 52, No. 1, pp. 182-188.