單片機(jī)中最小二乘方濾波器的向量測量及功率計(jì)算研究

　　目前，以單片機(jī)為基礎(chǔ)的數(shù)字式電氣測量、保護(hù)裝置已成為主流形式。交流信號直接采樣也已成為一種普通的方法。快速傅立葉算法是其中的主要算法，而最小二乘方算法，計(jì)算量很大，尤其在單片機(jī)的處理能力有限的情況下，既要保證實(shí)時性，又要保證計(jì)算速度，不經(jīng)過精心設(shè)計(jì)和程序優(yōu)化，很難保證二者的統(tǒng)一。

　　通過減少采樣次數(shù)、使用每周濾四個采樣點(diǎn)擬合的濾波器和一套優(yōu)化措施，使該算法計(jì)算速度大大提高，可以勝任工頻向量的實(shí)時測量，因而可以用于過流、速斷、方向保護(hù)等多個方面。本文分析了濾波器中的向量相位關(guān)系，同時給出了以此為基礎(chǔ)的兩線制功率計(jì)算舉例。該方法已通過實(shí)際應(yīng)用檢驗(yàn)。

　　1 最小二乘方濾波器的構(gòu)造

　　根據(jù)文獻(xiàn)[1～3]的研究結(jié)果,對每一路信號，輸入電壓函數(shù)可表示為：

　　在一般的測量、保護(hù)應(yīng)用中，只需關(guān)心基波成分。為減少計(jì)算量，應(yīng)最大限度地減少采樣次數(shù)。根據(jù)采樣定理，一個正弦函數(shù)的離散采樣次數(shù)量少每周波3次。為了方便，將每周波采樣次數(shù)定為4次，即采樣周期為5ms.則公式（1）中只能包含直流和工頻分量。將直流分量按泰勒級數(shù)展開并取其前兩項(xiàng)，則（1）式成為：

　　其中，P0為直流分量值，P1為基波峰-峰值，θ1為基波分量在采樣時刻相對于零點(diǎn)的相位角。

　　若以最近連續(xù)4次采樣值為樣本，可得到4個采樣方程。如將P0、-P0λ、P1cos（θ1）P1sin（θ1）作為待測未知數(shù)，可將4個采樣方程表示成如下矩陣：

　　若分別用符號A表示系數(shù)矩陣，X表示未知參數(shù)向量，U表示采樣值，則：

　　其中A-1表示A的逆矩陣，亦即向量X的最小二乘方濾波器。根據(jù)文獻(xiàn)[3],這個濾波器為：

　　因此，

　　實(shí)際應(yīng)用中，為了減少單片機(jī)順序采樣帶來的時間延遲所造成的計(jì)算誤差，硬件電路應(yīng)具有同步采樣功能。其作用就是在采樣時刻將所有電氣信號分別保持下來。

　　2 數(shù)字濾波器中瞬時相量的關(guān)系

　　若用ua、ub、uc分別表示三相電壓相量，Ua,Ub、Uc表示其有效值，初始相位角分別用θua、θub、θuc表示；用ia、ib、ic分別表示三相電流相量，Ia、Ib,Ic表示其有效值，初始相位角分別為θia、θib、θic.則（4）式就是對應(yīng)相量在X軸上的投影，即矢量的實(shí)部；（5）式就是對相量在Y軸上的投影，即矢量的虛部，（4）和（5）式中的θ1是上述相量相對于20ms時間窗之初時刻的相位角。