邊緣保留的圖像噪聲濾除方法

摘要：常用的濾除圖像噪聲的算法由于需要在圖像邊緣紋理保留和噪聲濾除之間進(jìn)行折中，因此不可避免的會帶來邊緣模糊的問題。本文提出一種既可保留圖像邊緣紋理又濾除圖像噪聲的方法。

關(guān)鍵詞：噪聲 濾波 邊緣檢測

噪聲圖像的濾波問題一直是圖像處理的基本任務(wù)之一。常用的濾波技術(shù)主要有Ｌｅｅ濾波器，Ｆｒｏｓｔ濾波器，Ｇａｍｍａ ＧＡＰ濾波器等。這些濾波算法都是基于對圖像局部統(tǒng)計特性自適應(yīng)的，因此濾除噪聲的效果較好。但由于算法本身的原因，往往造成圖像的邊緣等細(xì)節(jié)信息模糊，降低了圖像的質(zhì)量１。針對這一問題，人們提出許多改進(jìn)算法，如改進(jìn)的Ｌｅｅ濾波器，變窗口濾波器等，這些算法雖然在一定程度上解決了邊緣模糊的問題，但也帶來新問題，比如改進(jìn)的Ｌｅｅ濾波器，由于要進(jìn)行邊緣檢測，所以選擇的窗口就不能太大，但小窗口對消除斑噪聲不利，又降低了效能。

針對以上情況，本文提出了一種新的濾波方法：把濾波過程分為兩個步驟，先檢測出圖像的邊緣，把圖像的邊緣從原圖像中分離，得到無邊緣紋理的圖像；然后對其進(jìn)行濾波，再將邊緣紋理加入到濾波后的圖像，這樣就得到了一個即保留邊緣紋理，又有好的濾波效果的圖像。

１ 噪聲圖像邊緣檢測

最常用的邊緣檢測算法一般是Ｓｏｂｅｌ算子、Ｋｉｒｓｈ算子、Ｌａｐｌａｃｉａｎ算子以及Ｍａｒｒ算子等，這些算法都是基于梯度檢測的。梯度檢測器就是確定一個門限，當(dāng)象素梯度超過門限時就認(rèn)為它是邊緣，在圖像越亮的地方，梯度的方差就越大，如果門限不變，就會有許多虛假邊緣被檢測出來；既使門限變化，由于門限的變化范圍不好確定，因此效果也不好，所以檢測被噪聲污染的圖像的邊緣不能用一般的方法。本文使用斜面擬合法和廣義模糊算子法較好地解決了這個問題。

１.１ Ｈａｒａｌｉｃｋ斜面擬合法[２]

邊緣是一種灰度的起落，故可用曲面對數(shù)字圖像進(jìn)行擬合，然后再在擬合的曲面上進(jìn)行邊緣檢測。由于擬合用的曲面是滿足一定平滑性的有理曲面，因而可以使噪聲圖像得到平滑，有一定濾噪能力。本文用Ｈａｒａｌｉｃｋ曲面擬合方法作圖像邊緣檢測，該方法用斜面拼接成表面，然后求出表面的交，從而確定物體的邊緣。Ｈａｒａｌｉｃｋ邊緣檢測可以通過兩個步驟完成：

１.１.１確定Ｈａｒａｌｉｃｋ斜面擬合參數(shù)

假設(shè)對于方形數(shù)字圖像Ｒ×Ｃ中的每一點（ｘ,ｙ），數(shù)字圖像ｆ(ｉ,ｊ)的斜面模型都可以寫成:

ｆ(ｉ,ｊ)＝αｉ＋βｊ＋γ＋η(ｉ,ｊ)(１）

其中η(ｉ,ｊ)是噪聲項，是獨立的零均值隨機變量。用最小平方誤差求α，β，γ,即最小化下述誤差：

將ε２分別對α，β，γ求偏微分，并令結(jié)果等于零：

通常Ｒ,Ｃ均為奇數(shù)，設(shè)擬合窗口Ｒ×Ｃ的中間點坐標(biāo)為（０，０），由于對稱性，有：

求解上面的方程組，得：




求出α，β，γ,后，就可以很容易地進(jìn)行邊緣檢測。

由于１僅于Ｒ、Ｃ有關(guān)，故令

１．１．２斜面交界的確定

考慮兩個相鄰的斜面，它們分別由斜面參數(shù)α１，β１，γ１和α２，β２，γ２表征，設(shè)它們大小相等，斜面中心點連線的中點坐標(biāo)為（０，０）。于是這兩個中心點的坐標(biāo)可設(shè)為－δｉ／２－δｊ／２和δｉ／２δｊ／２，則兩個斜面在一個平面內(nèi)的條件是：

α１＝α２,β１＝β２,(α１－α２)δｉ／２＋(β１－β２)δｊ／２＋(γ１－γ２)＝０(８)

因為噪聲是正態(tài)分布的，則α，β，γ亦服從正態(tài)分布，所以：

都是服從零均值的正態(tài)分布隨機變量。

構(gòu)造Ｆ分布作為統(tǒng)計量：

Ｆ值越大，這兩個擬合鄰域之間存在邊緣的可能性越大。

１．２ 廣義模糊算子法[３]

傳統(tǒng)的邊緣檢測方法是將邊緣點理解為灰度的突變點，從而通過鄰域象素之間的代數(shù)運算來求取邊緣點。廣義模糊算子法認(rèn)為：圖像灰度差異是由于光照不均而產(chǎn)生的，在二維圖像中，邊緣是高頻成分，但圖像在邊緣處灰度值是連續(xù)的，也就是說，邊緣包括了圖像其它部分的灰度信息。但由于量化的影響，圖像灰度值在邊緣處產(chǎn)生突變。

定義 論域Ｕ上廣義模糊集合Ａ表征為：

其中υＡ(ｘ)∈[－１,１]稱為Ｕ上的廣義隸屬函數(shù)；稱υＡ(ｘ)∈[－１,０]為Ｕ上ｘ完全不屬于Ａ的廣義隸屬函數(shù)；υＡ(ｘ)∈[－１,０]為Ｕ上ｘ完全屬于Ａ的廣義隸屬函數(shù)；而υＡ(ｘ)＝０為Ｕ上Ａ的模糊分界點函數(shù)。

若Ｕ是由有限個元素構(gòu)成的有限域，則廣義模糊集合Ａ也是有限的。如果一個廣義模糊集中僅有一個元素，則稱為廣義模糊單敦。

于是一個由灰度級為Ｌ的Ｍ×Ｎ二維灰度圖像可看成是由一個廣義模糊單敦構(gòu)成的陣列，其每個元素的廣義隸屬函數(shù)的絕對值表示相對于最大亮度Ｌ－１的亮度程度，故可記為：

其中Ｐｉｊ／ｘｉｊ,(－１≤Ｐｉｊ≤１)表示圖像中的元素（ｉ,ｊ）完全擁有或不擁有性質(zhì)Ｐｉｊ的程度。

定義一個廣義模糊算子（ＧＦＯ），它作用在廣義模糊集Ａ上可以產(chǎn)生另一個模糊集Ａ’，即Ａ’＝ＧＦＯ(Ａ)。給出ＧＦＯ的表達(dá)式如下：

其中β＞１,α＞０。在給定了β之后，α可以由上式中第二第三項在分界點[０．５，１]上進(jìn)行耦合求出。圖１為用廣義模糊算子實現(xiàn)圖像邊緣檢測的框圖。

選擇合適映射，將圖１中Ｘ映射到Ｐ，本文采用正弦映射，經(jīng)過ＧＦＯ變換，發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)象素點Ｘ（ｉ,ｊ）→０時，由ＧＦＯ操作后，Ｐ(ｉ,ｊ)→－１，Ｐ’(ｉ,ｊ)→１，而Ｘ’(ｉ,ｊ)→Ｘｍａｘ’，即低灰階區(qū)域映射到高灰階區(qū)域；

當(dāng)象素點Ｘ（ｉ,ｊ）→１時，由ＧＦＯ操作后，Ｐ(ｉ,ｊ)→１，Ｐ’(ｉ,ｊ)→１，而Ｘ’(ｉ,ｊ)→Ｘｍａｘ’，即高灰階區(qū)域映射到高灰階區(qū)域；

當(dāng)象素點Ｘ（ｉ,ｊ）為→１中間灰度集時，這通常是真正的邊緣所在。由ＧＦＯ操作后，Ｐ(ｉ,ｊ)→０，Ｐ’(ｉ,ｊ)→０，而Ｘ’(ｉ,ｊ)→Ｘｍａｘ—Ｄ（Ｄ是由所選映射函數(shù)決定的常數(shù)）。

至此，就可用廣義模糊算子（ＧＦＯ）檢測出圖像的邊緣。

１．３用Ｈａｒａｌｉｃｋ斜面擬合法和廣義模糊算子法綜合得到圖像邊緣

用Ｈａｒａｌｉｃｋ斜面擬合法和廣義模糊算子法結(jié)合檢測邊緣，可以先用這兩種邊緣監(jiān)測器分別獨立地對圖像邊緣進(jìn)行檢測，然后把得到的圖像邊緣取邏輯與，得到用兩種方法相結(jié)合的最終圖像的邊緣。

２ 無紋理圖像的噪聲濾除

對于一般圖像的噪聲，由噪聲的統(tǒng)計特性可知，其幅度Ａ是高斯分布，其亮度ｕ是指數(shù)分布。對亮度來講，其分布函數(shù)可寫成[４]：

因此實際上最終獲得的噪聲圖像像素代表場景的反射強度，圖像亮度Ｉ（ｔ）可寫成

Ｉ（ｔ）＝Ｒ（ｔ）ｕ（ｔ）(１４)

其中ｔ＝（ｘ,ｙ）為圖像上一點，Ｒ（ｔ）為理想圖像亮度，ｕ（ｔ）為亮度，反應(yīng)了目標(biāo)的反射特性，ｕ（ｔ）與Ｒ（ｔ）統(tǒng)計獨立。

這里我們采用Ｌｅｅ濾波器進(jìn)行噪聲濾除。Ｌｅｅ濾波器假設(shè)圖像噪聲是乘性噪聲，并采用自適應(yīng)迭代法。這種方法有利于保持邊緣信息。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

Ｒ＝Ｉ＋Ｋ(ＣＰ×Ｉ)

Ｋ＝(ＵＶ)／(ＶＵ２＋Ｉ２Ｍ)，

Ｍ＝(ＳＤ／Ｉ)／２ (１５)

其中，Ｒ為處理后像元值；Ｉ為平滑窗口像元的平均值；ＣＰ為平滑窗口中心像元的灰度值；Ｕ是相乘噪聲均值（基于假定，一般取Ｕ＝１）；Ｖ是平滑窗口像元的方差；ＳＤ是平滑窗口的噪聲標(biāo)準(zhǔn)差。

３ 基于邊緣檢測的噪聲濾除

對未處理的圖像（如圖２所示）用合適的方法進(jìn)行邊緣檢測（使其紋理不丟失）。不是邊緣的象素令其值為零，邊緣象素保留其原值，得到邊緣圖像（如圖３所示）。把邊緣象素點從原始未處理的圖像中減去，令邊緣被減去處的值等于臨近非邊緣象素值的平均，這樣就得到了非邊緣的均勻的圖像。用合適的濾波器（本文為Ｌｅｅ濾波器）對改圖像濾波，濾除噪聲，然后恢復(fù)邊緣，即用邊緣位置的象素值代替被濾波過的對應(yīng)位置的象素值，得到最終圖像（如圖４所示）。圖５為僅用Ｌｅｅ濾波的結(jié)果。從圖中可以很明顯的看到該算法即保留了邊緣又濾除了噪聲，效果要明顯好于Ｌｅｅ濾波。