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系統(tǒng)的數(shù)學模型―微分方程與傳輸算子

作者: 時間:2011-11-18 來源:網(wǎng)絡 收藏

不涉及任何變換,而直接在時間變量域內(nèi)對進行分析,稱為的時域分析。其方法有兩種:時域經(jīng)典法與時域卷積法。

本文引用地址:http://m.butianyuan.cn/article/155510.htm

時域經(jīng)典法就是直接求解的方法。這種方法的優(yōu)點是直觀,物理概念清楚,缺點是求解過程冗繁,應用上也有局限性。所以在20世紀50年代以前,人們普遍喜歡采用變換域分析方法(例如拉普拉斯變換法),而較少采用時域經(jīng)典法。20世紀50年代以后,由于δ(t)函數(shù)及計算機的普遍應用,時域卷積法得到了迅速發(fā)展,且不斷成熟和完善,已成為系統(tǒng)分析的重要方法之一。時域分析法是各種變換域分析法的基礎。

在本章中,首先建立系統(tǒng)的——,然后用經(jīng)典法求系統(tǒng)的零輸入響應,用時域卷積法求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應,再把零輸入響應與零狀態(tài)響應相加,即得系統(tǒng)的全響應。其思路與程序是:

其次,將介紹:系統(tǒng)相當于一個;系統(tǒng)相當于一個H(p);系統(tǒng)相當于一個信號——沖激響應h(t)。對系統(tǒng)進行分析,就是研究激勵信號f(t)與沖激響應信號h(t)之間的關系,這種關系就是卷積積分。

2-1 系統(tǒng)的——微分方程與

研究系統(tǒng),首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學——微分方程。建立電路系統(tǒng)微分方程的依據(jù)是電路的兩種約束:拓撲約束(KCL,KVL)與元件約束(元件的時域伏安關系)。為了使讀者容易理解和接受,我們采取從特殊到一般的方法來研究。

圖2-1(a)所示為一含有三個獨立動態(tài)元件的雙網(wǎng)孔電路,其中 為激勵, , 為響應。對兩個網(wǎng)孔回路可列出KVL方程為

上兩式為含有兩個待求變量 的聯(lián)立微分積分方程。

為了得到只含有一個變量的微分方程,

須引用微分 ,即

, ,…,

在引入了微分算子 后,上述微分方程即可寫

(2-1)

根據(jù)式(2-1)可畫出算子形式的電路模型,如圖2-1(b)所示。將圖2-1(a)與(b)對照,

可很容易地根據(jù)圖2-1(a)畫出圖2-1(b),即將L改寫成Lp,將C改寫成 ,

其余一切均不變。當畫出了算子電路模型后,即可很容易地根據(jù)圖2-1(b)算子電路模型列寫出式(2-1)。

給式(2-1)等號兩端同時左乘以p,即得聯(lián)立的微分方程,即

將已知數(shù)據(jù)代入上式,得

(2-2)

用行列式法從式(2-2)中可求得響應i1(t)為

注意,在上式的演算過程中,消去了分子與分母中的公因子p。這是因為所研究的電路是三階的,

因而電路的微分方程也應是三階的。但應注意,并不是在任何情況下分子與分母中的公因子都可消去。

有的情況可以消去,有的情況則不能消去,視具體情況而定。故有

上式即為待求變量為i1(t)的三階常系數(shù)線性非齊次常微分方程。

方程等號左端為響應i1(t)及其各階導數(shù)的線性組合,

等號右端為激勵f(t)及其各階導數(shù)的線性組合。

利用同樣的方法可求得i2(t)為

上式即為描述響應i2(t)與激勵f(t)關系的微分方程。

推廣之,對于n階系統(tǒng),若設y(t)為響應變量, f(t)為激勵,如圖2-2所示,則系統(tǒng)微分方程的一般形式為

(2-3)

用微分算子 表示則為

 

或?qū)懗?/p>

又可寫成

式中

稱為系統(tǒng)或微分方程式(2-3)的特征多項式;

(2-4)

H(p)稱為響應y(t)對激勵f(t)的算子或轉(zhuǎn)移算子,它為p的兩個實系數(shù)有理多項式之比,

其分母即為微分方程的特征多項式D(p)。H(p)描述了系統(tǒng)本身的特性,與系統(tǒng)的激勵和響應無關。

這里指出一點:字母p在本質(zhì)上是一個微分算子,但從數(shù)學形式的角度,以后可以人為地把它看成是

一個變量(一般是復數(shù))。這樣,傳輸算子H(p)就是p的兩個實系數(shù)有理多項式之比。

例2-1 圖2-3(a)所示電路。求響應u1(t),u2(t)對激勵 的傳輸算子及u1(t),u2(t)分別對i(t)的微分方程。

解 其算子形式的電路如圖2-3(b)所示。對節(jié)點①,②列算子形式的KCL方程為

代入數(shù)據(jù)得

對上式各項同時左乘以p,并整理得

用行列式法聯(lián)解得

故得u1(t)對i(t),u2(t)對i(t)的傳輸算子分別為

進而得u1(t),u2(t)分別對i(t)的微分方程為

可見,對不同的響應u1(t),u2(t),其特征多項式 都是相同的,

這就是系統(tǒng)特征多項式的不變性與相同性。



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