蓄電池荷電狀態(tài)閉環(huán)動(dòng)態(tài)估算模型

目前，由于鉛酸蓄電池的經(jīng)濟(jì)性和技術(shù)成熟性，使其成為豐要的儲(chǔ)能設(shè)備。為了達(dá)到優(yōu)化蓄電池電力系統(tǒng)效率的目的，對(duì)蓄電池容量的實(shí)時(shí)監(jiān)控必不可少。而由于蓄電池的非線性特性，反映其容量的關(guān)鍵參數(shù)荷電狀態(tài)(SOC)，作為電池的內(nèi)特性不可能直接進(jìn)行測(cè)量。SOC數(shù)值只能使用工作電壓、電流等直接測(cè)量得到的外特性參數(shù)估算獲得。

本文使用最優(yōu)估計(jì)理論建立蓄電池的動(dòng)態(tài)工作模型，實(shí)現(xiàn)蓄電池SOC的實(shí)時(shí)估算。該動(dòng)態(tài)模型被劃分為兩個(gè)部分：第一部分是蓄電池?cái)?shù)學(xué)解析描述，即對(duì)蓄電池工作特性的開(kāi)環(huán)描述；第二部分是加入動(dòng)態(tài)過(guò)程的描述，實(shí)現(xiàn)蓄電池工作特性的閉環(huán)描述。對(duì)于蓄電池的解析模型，較為通用的方式是建立描述輸入輸出之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)確定模型的某些參數(shù)，或者模型內(nèi)部的某些狀態(tài)量。然而，僅僅使用開(kāi)環(huán)描述模型得到動(dòng)態(tài)輸出與實(shí)際的動(dòng)態(tài)情況常常存在偏差，這種誤差主要?dú)w咎于測(cè)量過(guò)程中的異常偏差。當(dāng)這種誤差出現(xiàn)時(shí)，只有閉環(huán)描述模型才能根據(jù)這些誤差對(duì)模型進(jìn)行調(diào)整。本文使用基于電化學(xué)理論的安時(shí)模型實(shí)現(xiàn)電池?cái)?shù)學(xué)解析描述，而動(dòng)態(tài)過(guò)程描述則使用帶有自矯正能力的擴(kuò)展卡爾曼濾波算法。

1 基于電化學(xué)的安時(shí)模型

普通的安時(shí)計(jì)量法使用下式估算蓄電池的SOC。

式中：s(0)為初始時(shí)刻的蓄電池SOC數(shù)值，若從充滿開(kāi)始放電，其值可以設(shè)為1；s(t)為t時(shí)刻的SOC實(shí)時(shí)值；Q為蓄電池的標(biāo)稱(chēng)容量；η為庫(kù)侖因子。通過(guò)調(diào)整庫(kù)侖因子可以滿足不同放電電流下的SOC計(jì)算。實(shí)際應(yīng)用中，庫(kù)侖因子多通過(guò)試驗(yàn)確定為常數(shù)或是關(guān)于放電電流I的函數(shù)。但是，蓄電池的標(biāo)稱(chēng)容量不等于實(shí)際容量，且實(shí)際容量在使用中也會(huì)衰減。同時(shí)，確定庫(kù)侖因子過(guò)程中產(chǎn)生的誤差，也會(huì)影響到安時(shí)估算的精度。為了對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行改進(jìn)，提高安時(shí)法 SOC估算的精度。本文使用電化學(xué)理論，構(gòu)造新的基于安時(shí)法的SOC估算模型。

1.1 電解液活性物質(zhì)濃度損失函數(shù)

蓄電池內(nèi)部電解液所含有的活性物質(zhì)，其濃度損失百分比可以表示為：

式中：C*為初始濃度；C(t)為電解液中t時(shí)刻活性物質(zhì)的濃度；時(shí)間t的取值范圍[0，L]，L為放電總時(shí)間。

當(dāng)使用蓄電池一維的電化學(xué)模型，根據(jù)電化動(dòng)力學(xué)理論，最終可以得到電解液活性物質(zhì)濃度損失百分比函數(shù)：

式中：v為反應(yīng)中電子的數(shù)目；F為法拉利常數(shù)；A為電極的面積；D為擴(kuò)散系數(shù)。

1.2 電化學(xué)安時(shí)模型

由于電解液的活性物質(zhì)濃度和電池的SOC成正比的關(guān)系，設(shè)比例系數(shù)為M，可以直接得出電池t時(shí)刻的SOC解析表達(dá)式：

若考慮電流值為I的恒流放電過(guò)程，放電截止時(shí)ρ(L)1，則可以得到以下等式：

對(duì)于給定的恒流放電集合{I*，*=1，2，…，n}，可以使用最小二乘法得到最優(yōu)的α、β參數(shù)，其中：

得到模型參數(shù)之后，為方便模型的實(shí)際應(yīng)用，使用積分的矩形近似方法改寫(xiě)(4)式，用以獲得離散時(shí)間上的近似遞推模型，在間隔周期△t足夠小的情況下，遞推模型可以寫(xiě)為：

式中：sk表示k時(shí)刻的電池SOC的實(shí)時(shí)值；Ik表示k時(shí)刻的電池電流。對(duì)比式(1)的標(biāo)準(zhǔn)安時(shí)估算模型，可以發(fā)現(xiàn)α等于電池的標(biāo)稱(chēng)容量Q，庫(kù)侖因子則由β 和放電時(shí)間k△t決定。從電化學(xué)角度分析，表達(dá)式(7)的括號(hào)中的第二項(xiàng)表示蓄電池中無(wú)法使用的總電量，當(dāng)β數(shù)值增加的時(shí)候，第二項(xiàng)趨向于零。因此，較大的β數(shù)值意味著蓄電池可以被看作理想儲(chǔ)能元件，所有充電電量都可以完全通過(guò)放電過(guò)程釋放。這是因?yàn)榇蟮摩聰?shù)值表明更快的擴(kuò)散效應(yīng)，蓄電池電解液中的活性物質(zhì)可以更快的到達(dá)電極的表面。反之，小的β數(shù)值表明蓄電池儲(chǔ)能損失大，大量的充電電量無(wú)法在放電過(guò)程中釋放。

2 擴(kuò)展卡爾曼濾波閉環(huán)估算模型

改進(jìn)安時(shí)模型能夠較好地反應(yīng)電池的動(dòng)態(tài)特性，但這種蓄電池SOC計(jì)算方式只是一種開(kāi)路的估算方式，存在著傳統(tǒng)安時(shí)計(jì)量法的缺點(diǎn)，即對(duì)電流測(cè)量中的測(cè)量偏差十分敏感，某一個(gè)時(shí)刻出現(xiàn)的測(cè)量偏差，可以影響到該時(shí)刻后所有的SOC估算值。如果將估算模型構(gòu)造成閉環(huán)反饋的模式，則可以自動(dòng)修正電流測(cè)量中的偏差，給出正確的SOC估算值。在(7)式遞推模型的基礎(chǔ)上，可以使用卡爾曼濾波器方法構(gòu)造出具有閉環(huán)特性的電池SOC估算模型。

首先將(7)式作為蓄電池SOC估算系統(tǒng)的狀態(tài)方程，蓄電池SOC為狀態(tài)量，蓄電池的工作電流作為系統(tǒng)的輸入。然后，利用蓄電池的工作電壓構(gòu)造系統(tǒng)的觀測(cè)方程。

蓄電池負(fù)載電壓與當(dāng)前時(shí)刻蓄電池的開(kāi)路電壓(Vcc)之間的關(guān)系是：

式中：R為蓄電池內(nèi)阻。又由于Vcc和內(nèi)阻都與其SOC有著直接的關(guān)系，故可以使用關(guān)于sk的函數(shù)，得到卡爾曼濾波算法中的觀測(cè)方程：

式中：uk表示k時(shí)刻的電池端電壓，則(7)式和(9)式組成了蓄電池SOC估算的卡爾曼濾波系統(tǒng)。確定(9)式的具體過(guò)程將在實(shí)驗(yàn)部分詳細(xì)分析。