基于同倫算法的逆變電源特定消諧法的研究

解非線性方程組(4)，便得PWM波的各開關(guān)角，然后根據(jù)對(duì)稱特性可以得到整個(gè)周期的各個(gè)開關(guān)角。求解該方程組，可得到一組[0，π／2]內(nèi)的開關(guān)角，當(dāng)然，這些開關(guān)角應(yīng)滿足以下條件：

0α1α2α3α4α5α6α7α8π／2
式(4)為非線性方程組，一般采用牛頓迭代法求解，但是該求解過(guò)程是否收斂與所取的初值有很大的關(guān)系。使用時(shí)由于求解非線性方程組存在較大困難以及存儲(chǔ)脈沖相位角需要很大的存貯空間，因而在相當(dāng)程度上制約了它的應(yīng)用。目前該方法的應(yīng)用僅限于離線控制。

3 同倫算法的建立
3．1 同倫算法
同倫方程的數(shù)值解法有2種：同倫延拓法；參數(shù)微分法。采用參數(shù)微分法將非線性方程組(4)簡(jiǎn)寫為：
F(a)=0 (5)
式中，F(xiàn)：D∈Rn→Rn。令a*是方程組(5)的解。
非線性超越方程組(5)，一般采用牛頓迭代法求解，但該方法對(duì)初值的選取要求較為嚴(yán)格，即要求初始近似解a0與解a*充分靠近，才能使迭代數(shù){ak}收斂于a*。實(shí)際計(jì)算中要找到滿足要求的迭代初始值往往很困難，如果給出的初始值導(dǎo)致迭代不收斂，就需要重新給初始值再計(jì)算，這樣就大大降低了求解速度，難以實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)控制。為了解決這個(gè)問(wèn)題，這里嘗試用同倫法求解。同倫法是一種用于非線性方程組數(shù)值求解的新方法，具有全局收斂和收斂速度快等優(yōu)點(diǎn)，其基本的思想是：對(duì)于該方程組，引人參數(shù)t，構(gòu)造一族映射H，使當(dāng)t為某一特定值(例如t=1)時(shí)，H就是映象F，而當(dāng)t=0時(shí)，得出方程組F0(a)=0的解a0是已知的。也就是說(shuō)，構(gòu)造一簇映射H：D×[O，1]∈Rn+1→Rn，代替單個(gè)映射F，使H滿足條件：

式中：F0(a)=0的解a0為已知，而方程H(a，1)=0就是原來(lái)的非線性方程組(5)，現(xiàn)在把問(wèn)題變?yōu)榍蠼馔瑐惙匠蹋?br />

構(gòu)造滿足條件(6)的同倫H可以是各種各樣的。這里，構(gòu)造H(a，t)=F(a)+(t-1)F(a0)?？梢宰C明，該同倫方程存在惟一解a=a(t)，且a(t)是微分方程式(7)的解，式(7)為：

因此，通過(guò)求解微分方程初值問(wèn)題式(7)的數(shù)值解，可得到方程(5)的解。用具有二階精度的中點(diǎn)求積法，得到：

式中：k=1，2，…，A-1，A為正整數(shù)。
只要F'(a)-1存在，且A足夠大，可證明由式(8)求得的nA可作為式(5)的解a*的一個(gè)好的近似，再用牛頓迭代法可求得精確解。
3．2 算例
根據(jù)文中采用的模型及算法，取開關(guān)角N=8，隨著基波幅值q的變化得到一組開關(guān)角的解軌跡(取UDC=1)，如圖4為顯示開關(guān)角aN隨基波幅值q的變化，取q=0.3，q=0.5和q=0.7時(shí)得到的三組開關(guān)角的解如表3所示。