在多束激光混合分布下其圖像定位各光斑質(zhì)心位置的方法研究

摘 要：激光光斑圖像的質(zhì)心提取是探測(cè)器確定激光方位的重要環(huán)節(jié)，對(duì)于獲取激光方位角有重要的意義。傳統(tǒng)上的灰度重心法、高斯擬合法以及橢圓擬合法三種激光光斑質(zhì)心的提取方法都無(wú)法解決激光光斑圖像上出現(xiàn)多個(gè)激光時(shí)其各個(gè)質(zhì)心的提取問(wèn)題?；诖巳秉c(diǎn)本文提出一種基于EM算法，求解二維圖像中多個(gè)混合高斯分布中分辨質(zhì)心分布的方法。采用CCD（Charge-coupled Device）圖像傳感器將光學(xué)影像轉(zhuǎn)化為數(shù)字信號(hào)獲取其圖像數(shù)據(jù)，并用其進(jìn)行試驗(yàn)，并采用歐式距離法當(dāng)做實(shí)驗(yàn)誤差評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)，發(fā)現(xiàn)圖像在2個(gè)激光混合分布時(shí)效果比較好，其結(jié)果中歐氏距離最小。

關(guān)鍵詞：激光光斑；質(zhì)心提取；歐氏距離法；EM算法；混合高斯分布

隨著光學(xué)的發(fā)展，激光技術(shù)作為受到各個(gè)國(guó)家軍事研究的高度關(guān)注^[1]，具有破壞性的激光武器一直是各國(guó)發(fā)展的核心，為保證其打擊的高效性，對(duì)目標(biāo)發(fā)射的激光數(shù)目很有可能不只單束激光?；谶@種情況，需要研究出一種能夠規(guī)避多束激光同時(shí)打擊時(shí)的方法。無(wú)論以何種方法規(guī)避，能夠精準(zhǔn)地獲取激光的方位是最重要的一步。因此能準(zhǔn)確計(jì)算出來(lái)襲的多束激光其各自質(zhì)心的方位，對(duì)于規(guī)避激光武器的傷害、提高設(shè)備生存能力具有重要的意義。

求激光光斑質(zhì)心的方法有多樣性的特點(diǎn)，該技術(shù)早期有提出過(guò)一種在Hough（霍夫）變換^[2] 基礎(chǔ)上求中心的方法，還有基于Hessian（黑塞）矩陣等求圖像中心的方法，以及灰度重心法和高斯擬合法。灰度重心法或灰度質(zhì)心法通過(guò)對(duì)圖像坐標(biāo)以及其灰度值求加權(quán)平均得到其質(zhì)心。高斯擬合法比灰度重心法精度更高可是更復(fù)雜。根據(jù)激光光斑高斯分布的特征，本文提出一種在機(jī)器學(xué)習(xí)當(dāng)中采用EM（最大期望）算法進(jìn)行高斯聚類(lèi)的方法，用其激光的二維圖像帶入該算法進(jìn)行求解，進(jìn)而得到其質(zhì)心的方法。

1   常用研究方法

1.1 灰度重心法

灰度重心法策略是采用以各個(gè)點(diǎn)的灰度值作為權(quán)重并以此求出重心，計(jì)算式如下：

(x_z ,y_z)為計(jì)算結(jié)果質(zhì)心的坐標(biāo)，I ( y, x)是圖像第y行x 列的灰度值?；叶戎匦姆ǖ膬?yōu)點(diǎn)是快速，但是在多束激光混合起來(lái)的時(shí)候無(wú)法計(jì)算各個(gè)質(zhì)心位置。

1.2 高斯擬合法

在理想情況下，基于激光強(qiáng)度近似高斯分布的特性，我們采用一個(gè)高斯曲面去最大程度上擬合實(shí)際數(shù)據(jù)，公式如下：

高斯擬合的目標(biāo)是求出式（3）中(x₀,y₀) 即高斯分布的中心也就是光斑的質(zhì)心，化簡(jiǎn)公式（3）后

將公式（3）與（4）聯(lián)立可得：

最后通過(guò)圖像灰度值，使用最小二乘法可求得公式（4）中的系數(shù)，最后通過(guò)（5）（6）即可得到質(zhì)心。

該方法雖然對(duì)于一個(gè)光斑的精度相較于灰度重心法來(lái)說(shuō)較好，可和灰度重心法存在同一個(gè)問(wèn)題——無(wú)法提取多個(gè)光斑混合在一起時(shí)各自質(zhì)心，如圖1 這種情況。

圖1 多束激光光斑混合圖像

2   基于EM算法提取二維圖像中混合高斯分布激光光斑質(zhì)心方法

本方法結(jié)合了EM 算法與高斯擬合法兩種方法。通過(guò)多束激光的圖像得到其訓(xùn)練集，然后在訓(xùn)練集上通過(guò)EM 算法進(jìn)行求解，最終得到不同高斯分布μ 也就是其均值，在物理意義上也是其激光的質(zhì)心位置。

2.1 激光圖像的混合高斯分布

理想情況下激光光斑應(yīng)呈現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)的二元高斯分布，其對(duì)應(yīng)概率密度函數(shù)為：

其中x 是二維向量對(duì)應(yīng)于空間位置坐標(biāo)， μ 是二維向量的均值，也就是其高斯分布的質(zhì)心，Σ是2× 2的協(xié)方差矩陣。

由公式（7）可看出二維高斯分布完全由二維向量的均值，以及協(xié)方差矩陣兩個(gè)參數(shù)確定，為了體現(xiàn)出二維高斯分布和對(duì)于參數(shù)的關(guān)系，將其概率記為：

p (x | μ,Σ)   （8）

在多束激光的情況下，激光的分布應(yīng)該是多個(gè)相互獨(dú)立的高斯分布相加的和，將此稱(chēng)為混合高斯分布，并且列出其表達(dá)式為高斯混合分布：

該表達(dá)式中k 代表著假設(shè)在本分布中一共包含k 個(gè)混合高斯分布，每個(gè)高斯分布之間相互獨(dú)立互不影響，在表達(dá)式中μ_i與Σ_i 分別代表著第i 個(gè)二維高斯分布的空間質(zhì)心的均值坐標(biāo)以及其協(xié)方差，也就是第i 個(gè)高斯分布組成的參數(shù)，同時(shí)a_i 為第i 個(gè)高斯分布在所有高斯分布中所占的比例也稱(chēng)為“混合系數(shù)”（maxture coefficeient）， a_i 滿(mǎn)足條件a_i > 0 并且

2.2 圖像灰度值與訓(xùn)練樣本之間的轉(zhuǎn)換

光斑圖像中，每個(gè)激光在圖像上產(chǎn)生的灰度值呈現(xiàn)正態(tài)分布，根據(jù)先驗(yàn)概率，可得空間中樣本位于空間位置x，y 的概率為：

式子（10）中p (x, y)代表存在處于空間位置 x，y坐標(biāo)下的概率，I (x, y)代表圖像 x，y 坐標(biāo)的灰度值，M 代表圖像高度，N 代表圖像長(zhǎng)度。

以公式（10）得到的概率分布p (x, y)進(jìn)行空間采樣，得到訓(xùn)練集D = {t₁,t₂···t_m}，其中 t 為空間位置(x, y)的二維向量。

2.3 EM算法

EM（Expectation-maximization algorithm）最大期望算法是機(jī)器學(xué)習(xí)中求包含無(wú)法觀測(cè)的隱變量（latent variable）的概率模型的方法，其目的是求滿(mǎn)足模型分布最大概率的隱變量值的方法。

設(shè)X 表示以觀察變量集，Z 表示隱變量集， Θ 表示模型參數(shù)。目標(biāo)是求得最大概率的Θ ，則應(yīng)最大化對(duì)數(shù)似然：

由于無(wú)法直接獲得Z 隱變量的信息，因此可以運(yùn)用對(duì)Z 計(jì)算期望，來(lái)最大化已觀測(cè)數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)“邊際似然”（marginal likelihood）：

EM 其基本原理是：當(dāng)Θ 為已知參數(shù)的時(shí)候，則可以通過(guò)訓(xùn)練集數(shù)據(jù)通過(guò)極大似然的方法求出在當(dāng)前Θ 下的使得最符合訓(xùn)練集分布的隱變量Z，稱(chēng)這一步為E 步；同理，當(dāng)Z 為已知的時(shí)候，可以通過(guò)同樣的極大使然估計(jì)的方法求的參數(shù)Θ ，這一步稱(chēng)為M 步。

E 步（Expectation）：以當(dāng)前參數(shù)Θ^t 推斷隱變量分布 P(Z | X ,Θ^t )，并計(jì)算對(duì)數(shù)似然 LL(Θ| X , Z ) 關(guān)于 Z期望：

M步（Maximization）: 尋找參數(shù)最大化期望似然，即：

對(duì)EM 算法總結(jié)一下，使用的是兩個(gè)交替的步驟，分別為上文中的E 步與M 步。E 步與M 步的交替迭代使用，使其收斂于最大符合訓(xùn)練集的模型參數(shù)，一直到超過(guò)最大迭代次數(shù)或者已經(jīng)收斂時(shí)，此時(shí)就可得到其解。

2.4 通過(guò)EM算法求解質(zhì)心

在本文中，通過(guò)EM 算法求多束激光光斑圖像以求解其各自的質(zhì)心，根據(jù)公式（9）可得在此EM 算法求解模型參數(shù)為Θ = {(a_i ,μ_i ,Σ_i )} ，其中(a_i ,μ_i ,Σ_i )表示第i 束激光參數(shù)，用z_i 代替，對(duì)于給定樣本集D，采用極大對(duì)數(shù)似然的方法，公式如下：

同時(shí)結(jié)合公式（9）可得：

若參數(shù)Θ 能使公式（2）最大化，則以μ_i為：

由于根據(jù)公式（4）可知， 對(duì)應(yīng)于a_i，由此可得：

為便于下文更好論述以及推導(dǎo)，在此設(shè)

由此解得公式（17）:

取最大值，同理可解得：

在根據(jù)以上更新的參數(shù)后，進(jìn)一步求得混合系數(shù)a_i ，由于a_i 是帶約束的參數(shù)，因此我們考慮采用拉格朗日法求得，解之得：

2.5 閾值法對(duì)結(jié)果進(jìn)行篩選

第二步需要判斷均值向量來(lái)對(duì)結(jié)果進(jìn)行篩選。由于激光光束的數(shù)量不確定，可能產(chǎn)生設(shè)定值大于實(shí)際光束數(shù)目的情況，得出的結(jié)果中可能存在其歐氏距離很小的情況，對(duì)于這種情況本文采用一個(gè)閾值的方法，當(dāng)：

圖2 算法流程圖

3   試驗(yàn)結(jié)果

3.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

本試驗(yàn)數(shù)據(jù)是根據(jù)CCD 探測(cè)器得到的已知高斯光斑質(zhì)心在圖像中位置的圖像，大小均為200×200，其中圖3 為只有單束激光照射在探測(cè)器上的圖像，圖4 則為兩束激光的圖像，通過(guò)對(duì)兩幅圖像的光斑質(zhì)心提取，證明本文方法的普適性，試驗(yàn)數(shù)據(jù)采用的都是標(biāo)準(zhǔn)高斯橢圓光斑，通過(guò)線(xiàn)性增強(qiáng)的方法將其圖像的灰度值映射到0 至255 以?xún)?nèi)，該數(shù)據(jù)暫不考慮在實(shí)際探測(cè)過(guò)程中出現(xiàn)的噪聲。

3.2 仿真數(shù)據(jù)質(zhì)心提取

對(duì)仿真數(shù)據(jù)單束激光和多束激光分別采用灰度重心法、高斯擬合法和本文所介紹的方法進(jìn)行計(jì)算比較，計(jì)算三種方法得到的結(jié)果和實(shí)際結(jié)果之間的歐氏距離如表1 所示，單束激光圖像圖3 中，其激光質(zhì)心為（100，100）。多束激光圖像圖4 中，存在兩個(gè)激光光斑的高斯分布，其兩個(gè)光斑的質(zhì)心分別為（100，100）以及（130，120），計(jì)算結(jié)果如表2 所示。

圖3 仿真200×200單束激光混合光斑圖像

通過(guò)表1 可得出，在200×200 的圖像中，在只有一束激光的光斑條件下，灰度重心法和高斯擬合法以及本文中通過(guò)EM 算法計(jì)算高斯分布參數(shù)的方法在該條件下結(jié)果基本一致，計(jì)算結(jié)果與實(shí)際結(jié)果的歐氏距離差距非常小，精度也比較好。

圖4 仿真200×200多束激光混合光斑圖像

通過(guò)表2 可看出，當(dāng)圖像中存在兩束激光光斑的時(shí)候，灰度重心法和高斯擬合法存在比較大的誤差，而本文方法的誤差相比于這兩種方法來(lái)說(shuō)有大幅度縮小，更加接近真實(shí)的質(zhì)心。

4   結(jié)論

結(jié)合表1 和表2 的結(jié)果，可得出結(jié)論。在光斑圖像中，若只有單個(gè)激光光斑，那么使用灰度重心法，高斯擬合法以及本文方法，這三種方法得出的計(jì)算結(jié)果和真實(shí)結(jié)果差異不大。然而在出現(xiàn)圖4 這種圖像中出現(xiàn)兩個(gè)或者出現(xiàn)多個(gè)激光光斑，并且激光光斑之間相互連通無(wú)法分開(kāi)的情況下，灰度重心法、高斯擬合法都出現(xiàn)較大的誤差，其原因是其算法本身的局限性，而本文方法則獲得了非常小的實(shí)際誤差。

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（本文來(lái)源于《電子產(chǎn)品世界》雜志2022年2月期）