從前面敘述可知,如果一個(gè)線性控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的,那么從任何初始條件開始,經(jīng)過一段時(shí)間就可以認(rèn)為它的過渡過程已經(jīng)結(jié)束,進(jìn)入與初始條件無關(guān)而僅由外作用決定的狀態(tài),即穩(wěn)態(tài)??刂葡到y(tǒng)在穩(wěn)態(tài)下的精度如何,這是它的一個(gè)重要的技術(shù)指標(biāo),通常用穩(wěn)態(tài)下輸出量的要求值與實(shí)際值之間的差來衡量。如果這個(gè)差是常數(shù),則稱為穩(wěn)態(tài)誤差。 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是因輸入信號不同而不同的。因此就需要規(guī)定一些典型輸入信號。通過評價(jià)系統(tǒng)在這些典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差來衡量和比較系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。在控制工程中通常采用的典型輸入信號有以下幾種: 1.單位階躍函數(shù): 其拉普拉斯變換為R(s)=1/s。 2.單位斜坡函數(shù) 其拉普拉斯變換為R(s)=1/s2。 3.單位加速度函數(shù): 其拉普拉斯變換為R(s)=1/s3。 4.單位脈沖函數(shù) 其拉普拉斯變換為R(s)=1。 5.正弦函數(shù): 其中最常用的典型信號為單位階躍、單位斜坡、單位加速度三種輸入信號。 3.2.2穩(wěn)態(tài)誤差和誤差傳遞函數(shù) 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是指系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)下其實(shí)際輸出值(在實(shí)際工作中常用系統(tǒng)輸出的測量值代替)與給定值之差。對穩(wěn)定的單輸入單輸出系統(tǒng),穩(wěn)態(tài)誤差是時(shí)域中衡量系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo),它反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度,因此穩(wěn)態(tài)誤差分析是控制系統(tǒng)分析的一項(xiàng)基本內(nèi)容。 設(shè)有如圖3-1所示的系統(tǒng)。它的閉環(huán)傳函為 誤差信號e(t)和輸入信號r(t)之間的傳遞函數(shù)是 其中誤差e(t)是輸入信號和反饋信號之差。 | | 圖3-1控制系統(tǒng) |
終值定理為求穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差提供了一個(gè)簡便的方法。因?yàn)镋(s)是 則穩(wěn)態(tài)誤差是
3.2.3 靜態(tài)誤差系數(shù) 當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號為單位階躍、單位斜坡和單位加速度三種典型信號之一時(shí),上式分別化為: 單輸入單輸出線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一般表示為: 單位階躍函數(shù): | (3-2) |
單位斜坡函數(shù): | (3-3) |
單位加速度函數(shù): | (3-4) |
現(xiàn)定義誤差系數(shù)如下: 靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp: | (3-5) |
靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv: | (3-6) |
靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka: | (3-7) |
將(3-5),(3-6)及(3-7)分別代入(3-2),(3-3)及(3-4)得 單位階躍函數(shù): | (3-8) |
單位斜坡函數(shù): | (3-9) |
單位加速度函數(shù): | (3-10) |
下面進(jìn)一步考察誤差系數(shù)與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)的關(guān)系。 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)一般寫成 | (3-11) |
的形式,式中K是系統(tǒng)的開環(huán)比例系數(shù)。分母中的因子sυ表明開環(huán)傳遞函數(shù)中含有υ個(gè)積分單元。將系統(tǒng)按照υ=0,1,2分別將其分為0型,1型,2型。在表3-1中列出了按照式(3-2),(3-3)及(3-4)求得的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。 | 0型系統(tǒng) | 1型系統(tǒng) | 2型系統(tǒng) | (階躍輸入)r(t)=1(t) | | 0 | 0 | (斜坡輸入)r(t)=t/td> | ∞ | | 0 | (加速度輸入)r(t)=t2/2 | ∞ | ∞ | |
表3-1 0型、1型及2型系統(tǒng)以增益K表示的穩(wěn)態(tài)誤差 |
誤差系數(shù)Kp、Kv和Ka描述了系統(tǒng)減少或消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力,系數(shù)值愈大,則給定穩(wěn)態(tài)誤差終值愈小。一般來說,在保持瞬態(tài)響應(yīng)在一個(gè)允許的范圍內(nèi)時(shí),希望增加誤差系數(shù),如果在靜態(tài)速度誤差系數(shù)和加速
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