繪制根軌跡的數(shù)學(xué)依據(jù)及其性質(zhì)

⒈系統(tǒng)方塊圖：如圖4-3 所示。

2.:

注：
(1)．………開環(huán)放大系數(shù),增益,傳遞系數(shù)。

……時(shí)間常數(shù)。
………開環(huán)零極點(diǎn)形式的傳遞系數(shù)。
……開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)的負(fù)值。

(2).與與關(guān)系：

4.2.2 特征方程D(s)=0 的幾種表達(dá)形式：

⒈.閉環(huán)傳遞函數(shù)的幾種形式：

⑴.

⑵.

⒉" " 的幾種形式：

⑴.

⑵.

⑶.

⑷.

⑸.(k=0,1,2,3,……)

⑹.

4.2.3繪制根跡的數(shù)學(xué)依據(jù)：

⒈. 幅角條件,幅值條件--幅相條件:

⑴.所謂幅角條件(相角條件):

①.(k=0,1,2,3,……) （4-1）
②. 幅角條件是繪制根跡的根本依據(jù)
--根平面上凡是滿足幅角條件的點(diǎn)的全體就是根跡。
③.可利用幅角條件畫根跡。

⑵.所謂幅值條件:

①.(4-2)
②.根跡上凡是滿足幅值條件的點(diǎn),就是相應(yīng)K值的閉環(huán)極點(diǎn)sb,即的根。
③.可利用幅值條件確定相應(yīng)于sb的K。

⑶. 幅角條件與幅值條件不同點(diǎn):

①幅角條件與K無關(guān)。
②.據(jù)幅值條件可知,幅值改變，相應(yīng)于K在改變。

⑷.例

仍以圖4-1所示的系統(tǒng)為例,用幅角條件來求 由0→+∞變化時(shí)根軌跡,并用幅值條件確定使閉環(huán)系統(tǒng)的一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的阻尼比ξ等于0.707時(shí)的K值。
對于上述給定系統(tǒng),其幅角條件為：

(k=0,1,2,3,……)
其幅值條件為：

綜上可知,在作根軌跡圖時(shí),只需應(yīng)用幅角條件,即可畫出根的軌跡,然后利用幅值條件可求出根軌跡上某一點(diǎn)的相應(yīng)的K值。因?yàn)樵趫D紙上繪制根軌跡的過程中,需要對幅角和幅值進(jìn)行圖解測量,故必須將橫坐標(biāo)軸與縱坐標(biāo)軸按同樣的尺度進(jìn)行等分。

⒉.繪制根軌跡步驟如下:

⑴.在S平面上畫出開環(huán)極點(diǎn):
有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，以×表示。
見圖4-4。

⑵.確定實(shí)軸上的根軌跡:
如果試驗(yàn)點(diǎn)位于正實(shí)軸上，則這表明不滿足幅角條件。因此，在正實(shí)軸上沒有根軌跡。 若將試驗(yàn)點(diǎn)選在負(fù)實(shí)軸上,之間。
這時(shí)因此
即滿足幅角條件。

因此, 在負(fù)實(shí)軸上之間這一段是根軌跡一部分。

如果把試驗(yàn)點(diǎn)選在負(fù)實(shí)軸上之間。這時(shí) 此顯然不滿足幅角條件。故在負(fù)實(shí)軸上從之間這一段,不是根軌跡一部分。

綜上,實(shí)軸上的根軌跡，存在于負(fù)實(shí)軸上之間。

⑶.確定S平面上,除了實(shí)軸以外的其它根軌跡:
在S平面上任取一點(diǎn) (見圖4-4),令╱s =Λ1, ╱s+p =Λ2 。如果 位于根軌跡上，則應(yīng)滿足幅角條件，即Λ1＋Λ2＝180L。顯然，只有位于坐標(biāo)原點(diǎn)之間線段的垂直平分線上的點(diǎn),才能滿足幅角條件，因此S平面上,該垂直平分線也是根軌跡的一部分。

綜上所述，根據(jù)幅角條件求得并畫出當(dāng)K由0→+∞變化時(shí)根軌跡與圖 4-2按公式直接計(jì)算根的值所畫出的根軌跡是完全一樣的，且前者不受系統(tǒng)方程階次的限制，明顯優(yōu)于后者。

⑷.確定一對阻尼比ξ為0.707的共軛復(fù)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn):

這對閉環(huán)極點(diǎn)，位于通過原點(diǎn)且與負(fù)實(shí)軸夾角為 的直線上.由圖可以求出,當(dāng)ξ=0.707時(shí), 這一對閉環(huán)極點(diǎn)為

與這對極點(diǎn)相應(yīng)的 值,可用幅值條件確定為