基于改進基追蹤方法的信號去噪

摘要：提出了一種新的基追蹤求解算法。依據(jù)信號特性自適應(yīng)地選取字典；通過l1范數(shù)的近似表示，將有約束的極值問題轉(zhuǎn)化為無約束問題，并利用一種新的迭代算法進行快速求解；幾類典型信號實驗結(jié)果驗證了本方法具有良好的去噪效果。 關(guān)鍵詞：基追蹤 字典 去噪 基追蹤方法是信號稀疏表示領(lǐng)域的一種新方法。它尋求從完備的（過完備）函數(shù)（基）集合中得到信號的最稀疏的表示，即用盡可能少的基精確地表示原信號，從而獲得信號的內(nèi)在本質(zhì)特性。基追蹤方法采用表示系統(tǒng)的范數(shù)作為信號稀疏性的度量，通過最小化l1范數(shù)將信號稀疏表示問題定義為一類有約束的極值問題，進而轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題進行求解。 目前，基追蹤方法在一維信號處理領(lǐng)域有很好的應(yīng)用。以David L.Donoho為代表的斯需求量福大學統(tǒng)計系工作組利用基追蹤方法在一維實信號去噪和超分辨方面取得取了很多很好的應(yīng)用結(jié)果。盡管使用了一種新的線性規(guī)劃算法——內(nèi)點算法，基追蹤方法由于要在所有的字典向量中極小化一個全局目標函數(shù)，其計算量仍然是很大的。正因為求解大尺度線性規(guī)劃問題的困難，目前的基追蹤方法局限于一維的信號去噪和超分辨處理。本文提出一種新的思路來求解上述有約束的極值問題。首先依據(jù)信號特性自適應(yīng)地選取字典；通過l1范數(shù)的近似表示，將有約束的極值問題轉(zhuǎn)化為無約束問題，并利用一種迭代算法進行快速求解；最后通過幾類典型信號去噪實驗來驗證本方法的應(yīng)用效果。實驗結(jié)果表明，改進的基追蹤方法能夠快速穩(wěn)定實現(xiàn)，。同時具有良好的去噪效果。1 字典的構(gòu)造 對于觀測到的離散信號s∈H,H為Hilbert空間，給定H中的字典φ={φγ，γ∈Γ}，其中Γ為指標集，φγ為H中的基函數(shù)，也稱為原子?；粉櫡椒▽⑿盘栂∈璞硎締栴}定義為以下有結(jié)束的極值問題，即 其中，αγ（γ∈Γ）為表示系數(shù)。如果將字典中的向量表示成矩陣φ的例，系數(shù)表示成一個列向量，則（1）式可表示成 min||α||1 subject to s=φα (2) 在含噪觀測的情況下，考慮如下模型： y=s+σz 其中s為真實信號，y為觀測信號，z為標準高斯白噪聲，σ為噪聲根方差。基追蹤方法去噪歸結(jié)為求解以下優(yōu)化問題： 以上最優(yōu)化問題致力于最小化信號重建誤差，同時使得信號的表示最稀疏。正則化參數(shù)λ控制著允許誤差與稀疏性之間的平衡。 由（3）式可見，基追蹤方法去噪的核心問題涉及到原子的選取、字典的構(gòu)造、求解算法設(shè)計等三個方面。其中，字典的構(gòu)造是基追蹤方法的重要環(huán)節(jié)。為了盡可能精確地表示信號，字典與信號應(yīng)用是自適應(yīng)的，或者說字節(jié)是從信號的學習中得到的。通常，基追蹤方法所使用的字典有完備的、過完備的、欠完備的等?？梢愿鶕?jù)信號的先驗信息及實際需要設(shè)計字典。一般設(shè)計的字典是完備或過完備的。對于簡單信號去噪，一般只需要構(gòu)造完備的字典。對于復(fù)合信號對噪問題，通常需要構(gòu)造過完備的字典。對于完備字典，同樣存在信號的稀疏表示問題，因為噪聲總是處處奇異的。本文所采用的字典主要有： （1）Heaviside字典 此字典中原子不是正交的，但是對于任意長度為n的一維離散信號s=(s1s2…sn)都有以下表示： Heaviside字典具有上三角形式，結(jié)構(gòu)簡單，善于捕捉分片常數(shù)信號中的突變特征。 （2）時間-尺度字典（小波字典） 以Haar小波字典為例： 你小波基：ψ=l[0,1],母小波基：ψ=1[1/2,1],1-1[0,1/2] Haar小波字典中包含小波基的平移和伸縮變換以及小波基的平移變換。 設(shè)ψ=（a,b,v），其中α∈（0，∞）為尺度變量，b∈[0，n]表征位置，v∈{0,1}表征性別。Haar小波字典形式為： 包含n個原子，構(gòu)成一組正交基。當然還有其它類型的小波字典，盡管有些小波基沒有類似Haar小波基這樣明確的小波函數(shù)表達式，但它們的字典都有與Haar小波字典類似的離散結(jié)構(gòu)。比較常用的主要用Daubechies、Coiflet、Symmlet等。小波字典應(yīng)用于表示分片光滑信號。 （3）Heaviside字典+小波字典 對于比較復(fù)雜的復(fù)合信號，單一的字典下無法得到信號的最稀疏表示，此時可將幾種字典合成，從而得到過完備的字典。例如Heaviside字典+小波字典。 2 新的求解算法 文獻[1]將（3）式等階于如下二次規(guī)劃問題： 文獻[1]采用內(nèi)點算法求解以上二次規(guī)劃問題。這種算法收斂性能穩(wěn)定，但由于它是一種大尺度的線性規(guī)劃算法，復(fù)雜度高，所耗費的計算時間非常長，不便于實際應(yīng)用，為此，針對（3）式，采用一種新的迭代算法來求解以上最優(yōu)化問題。 首先，給出l1范數(shù)的平滑近似 其中，N為向量z的長度，ε為非常小的常數(shù)（ε>0），本文取ε=10 -6)。 其中，β為迭代步長，0<β≤1,迭代初值可取α（0）=φHY。迭代的終止條件由控制（本文取δcG=10 -3），這樣即可得到優(yōu)化問題的解α。在得到表示系數(shù)α的估計α后，可由s=φα得到的重構(gòu)的信號。 3 正則化參數(shù)λ的選取 在所考慮的噪聲為高斯白噪聲以及對字典φ進行規(guī)范化（||φγ||2=1）的情況下，文獻[1]中λ的經(jīng)驗值取為，其中，P為字典φ的勢。此經(jīng)驗值實際對應(yīng)于正交基下小波小噪方法的中閾值。因此這種參數(shù)的選取方法依賴于對信號中的噪聲方差的精確估計。而對噪聲方差的精確估計通常是比較困難的。因此該經(jīng)驗值是一種次優(yōu)值?？蓮牧硪粋€角度來考慮正則化參數(shù)的選取方法。容易證明，在對字典φ進行正交化后，目標函數(shù)具有單峰性質(zhì)（目標函數(shù)為函數(shù)），因此可通過最小化目標函數(shù)，在迭代算法中用線性搜索的方法尋求最優(yōu)。4 實驗結(jié)果 為了驗證本方法的去噪效果，將其應(yīng)用于一維信號去噪實驗，并與小波軟、硬閾值去噪方法以及Wiener濾波方法進行了比較。 設(shè)計二組一維實信號，即分片常數(shù)信號和分片光滑信號。其中分片光滑信號“Heavisine”是由下式產(chǎn)生的一種信號： 對二組信號附加高斯白噪聲。其中第一組噪聲根方差σ=0.2，第二組噪聲根方差為σ=0.5。去噪結(jié)果如圖1和圖2所示。分片常數(shù)信號實驗中的小波方法所采用的小波基為Haar小波基，分片光滑信號實驗中的小波方法所采用的小波基為Sym8小波基。依據(jù)信號的特性，分片常數(shù)信號實驗中基追蹤方法采用Heaviside完備字典，分片光滑信號實驗中基追蹤方法采用Heaviside+Sym8小波字典合成的過完備字典。表1對各種方法的信噪比改善程度進行了比較。在配置為奔4 Celeron(1.8G)微機上運動未經(jīng)優(yōu)化的Matlab程序，分片常數(shù)信號實驗總過程耗時約9s，分片光滑信號實驗總過程耗時約80s。表1 信噪比的比較結(jié)果 SNR含噪信號Wiener波波小波軟閾值方法小波硬閾值方法本文方法分片常數(shù)信號18.33dB22.02dB24.91dB24.03dB25.99dB分片光滑信號16.13dB22.41dB21.78dB21.75dB24.69dB理論分析和實驗結(jié)果表明，該方法能夠快速穩(wěn)定實現(xiàn)，同時具有良好的去噪效果。與傳統(tǒng)去噪方法相比，基追蹤方法對于信噪比的改進程程度更高，同時它能有效地保持信號中的重要特征。