傅里葉變換，拉普拉斯變換和Z變換的意義

　　簡介：本文介紹了在實(shí)際工程中常用到的傅里葉變換和Z變換之間的關(guān)系、各自的意義等內(nèi)容。

　　傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、海洋學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用(例如在信號(hào)處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號(hào)分解成幅值分量和頻率分量)。

　　傅里葉變換能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成三角函數(shù)(正弦和/或余弦函數(shù))或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。

　　傅里葉變換是一種解決問題的方法，一種工具，一種看待問題的角度。理解的關(guān)鍵是：一個(gè)連續(xù)的信號(hào)可以看作是一個(gè)個(gè)小信號(hào)的疊加，從時(shí)域疊加與從頻域疊加都可以組成原來的信號(hào)，將信號(hào)這么分解后有助于處理。

　　我們?cè)瓉韺?duì)一個(gè)信號(hào)其實(shí)是從時(shí)間的角度去理解的，不知不覺中，其實(shí)是按照時(shí)間把信號(hào)進(jìn)行分割，每一部分只是一個(gè)時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)信號(hào)值，一個(gè)信號(hào)是一組這樣的分量的疊加。傅里葉變換后，其實(shí)還是個(gè)疊加問題，只不過是從頻率的角度去疊加，只不過每個(gè)小信號(hào)是一個(gè)時(shí)間域上覆蓋整個(gè)區(qū)間的信號(hào)，但他確有固定的周期，或者說，給了一個(gè)周期，我們就能畫出一個(gè)整個(gè)區(qū)間上的分信號(hào)，那么給定一組周期值(或頻率值)，我們就可以畫出其對(duì)應(yīng)的曲線，就像給出時(shí)域上每一點(diǎn)的信號(hào)值一樣，不過如果信號(hào)是周期的話 ，頻域的更簡單，只需要幾個(gè)甚至一個(gè)就可以了，時(shí)域則需要整個(gè)時(shí)間軸上每一點(diǎn)都映射出一個(gè)函數(shù)值。

　　傅里葉變換就是將一個(gè)信號(hào)的時(shí)域表示形式映射到一個(gè)頻域表示形式;逆傅里葉變換恰好相反。這都是一個(gè)信號(hào)的不同表示形式。它的公式會(huì)用就可以，當(dāng)然把證明看懂了更好。

　　對(duì)一個(gè)信號(hào)做傅里葉變換，可以得到其頻域特性，包括幅度和相位兩個(gè)方面。幅度是表示這個(gè)頻率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意義?頻域的相位與時(shí)域的相位有關(guān)系嗎?信號(hào)前一段的相位(頻域)與后一段的相位的變化是否與信號(hào)的頻率成正比關(guān)系。

　　傅里葉變換就是把一個(gè)信號(hào)，分解成無數(shù)的正弦波(或者余弦波)信號(hào)。也就是說，用無數(shù)的正弦波，可以合成任何你所需要的信號(hào)。

　　想一想這個(gè)問題：給你很多正弦信號(hào)，你怎樣才能合成你需要的信號(hào)呢?答案是要兩個(gè)條件，一個(gè)是每個(gè)正弦波的幅度，另一個(gè)就是每個(gè)正弦波之間的相位差。所以現(xiàn)在應(yīng)該明白了吧，頻域上的相位，就是每個(gè)正弦波之間的相位。

　　傅里葉變換用于信號(hào)的頻率域分析，一般我們把電信號(hào)描述成時(shí)間域的數(shù)學(xué)模型，而數(shù)字信號(hào)處理對(duì)信號(hào)的頻率特性更感興趣，而通過傅立葉變換很容易得到信號(hào)的頻率域特性。

　　傅里葉變換簡單通俗理解就是把看似雜亂無章的信號(hào)考慮成由一定振幅、相位、頻率的基本正弦(余弦)信號(hào)組合而成，傅里葉變換的目的就是找出這些基本正弦(余弦)信號(hào)中振幅較大(能量較高)信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻率，從而找出雜亂無章的信號(hào)中的主要振動(dòng)頻率特點(diǎn)。如減速機(jī)故障時(shí)，通過傅里葉變換做頻譜分析，根據(jù)各級(jí)齒輪轉(zhuǎn)速、齒數(shù)與雜音頻譜中振幅大的對(duì)比，可以快速判斷哪級(jí)齒輪損傷。

　　拉普拉斯變換，是工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換。

　　它是為簡化計(jì)算而建立的實(shí)變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換。對(duì)一個(gè)實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往比直接在實(shí)數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計(jì)算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運(yùn)算步驟對(duì)于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數(shù)方程來處理，從而使計(jì)算簡化。在經(jīng)典控制理論中，對(duì)控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。

　　引入拉普拉斯變換的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)，是可采用傳遞函數(shù)代替微分方程來描述系統(tǒng)的特性。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統(tǒng)的整個(gè)特性(見信號(hào)流程圖、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖)、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程(見奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、根軌跡法)，以及綜合控制系統(tǒng)的校正裝置(見控制系統(tǒng)校正方法)提供了可能性。

　　拉普拉斯變換在工程學(xué)上的應(yīng)用：應(yīng)用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微分方程化為代數(shù)方程，使問題得以解決。在工程學(xué)上，拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個(gè)信號(hào)從時(shí)域上，轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域(s域)上來表示;在線性系統(tǒng)，控制自動(dòng)化上都有廣泛的應(yīng)用。

　　在數(shù)字信號(hào)處理中，Z變換是一種非常重要的分析工具。但在通常的應(yīng)用中，我們往往只需要分析信號(hào)或系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，也即是說通常只需要進(jìn)行傅里葉變換即可。那么，為什么還要引進(jìn)Z變換呢?

　　Z變換和傅里葉變換之間有存在什么樣的關(guān)系呢?傅里葉變換的物理意義非常清晰：將通常在時(shí)域表示的信號(hào)，分解為多個(gè)正弦信號(hào)的疊加。每個(gè)正弦信號(hào)用幅度、頻率、相位就可以完全表征。傅里葉變換之后的信號(hào)通常稱為頻譜，頻譜包括幅度譜和相位譜，分別表示幅度隨頻率的分布及相位隨頻率的分布。在自然界，頻率是有明確的物理意義的，比如說聲音信號(hào)，男同胞聲音低沉雄渾，這主要是因?yàn)槟新曋械皖l分量更多;女同胞多高亢清脆，這主要是因?yàn)榕曋懈哳l分量更多。對(duì)一個(gè)信號(hào)來說，就包含的信息量來講，時(shí)域信號(hào)及其相應(yīng)的傅里葉變換之后的信號(hào)是完全一樣的。那傅里葉變換有什么作用呢?因?yàn)橛械男盘?hào)主要在時(shí)域表現(xiàn)其特性，如電容充放電的過程;而有的信號(hào)則主要在頻域表現(xiàn)其特性，如機(jī)械的振動(dòng)，人類的語音等。若信號(hào)的特征主要在頻域表示的話，則相應(yīng)的時(shí)域信號(hào)看起來可能雜亂無章，但在頻域則解讀非常方便。在實(shí)際中，當(dāng)我們采集到一段信號(hào)之后，在沒有任何先驗(yàn)信息的情況下，直覺是試圖在時(shí)域能發(fā)現(xiàn)一些特征，如果在時(shí)域無所發(fā)現(xiàn)的話，很自然地將信號(hào)轉(zhuǎn)換到頻域再看看能有什么特征。信號(hào)的時(shí)域描述與頻域描述，就像一枚硬幣的兩面，看起來雖然有所不同，但實(shí)際上都是同一個(gè)東西。正因?yàn)槿绱?，在通常的信?hào)與系統(tǒng)的分析過程中，我們非常關(guān)心傅里葉變換。

　　既然人們只關(guān)心信號(hào)的頻域表示，那么Z變換又是怎么回事呢?要說到Z變換，可能還要先追溯到拉普拉斯變換。拉普拉斯變換是以法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯命名的一種變換方法，主要是針對(duì)連續(xù)信號(hào)的分析。拉普拉斯和傅里葉都是同時(shí)代的人，他們所處的時(shí)代在法國是處于拿破侖時(shí)代，國力鼎盛。在科學(xué)上也取代英國成為當(dāng)時(shí)世界的中心，在當(dāng)時(shí)眾多的科學(xué)大師中，拉普拉斯、拉格朗日、傅里葉就是他們中間最為璀璨的三顆星。傅里葉關(guān)于信號(hào)可以分解為正弦信號(hào)疊加的論文，其評(píng)審人即包括拉普拉斯和拉格朗日。

　　回到正題，傅里葉變換雖然好用，而且物理意義明確，但有一個(gè)最大的問題是其存在的條件比較苛刻，比如時(shí)域內(nèi)絕對(duì)可積的信號(hào)才可能存在傅里葉變換。拉普拉斯變換可以說是推廣了這以概念。在自然界，指數(shù)信號(hào)exp(-x)是衰減最快的信號(hào)之一，對(duì)信號(hào)乘上指數(shù)信號(hào)之后，很容易滿足絕對(duì)可積的條件。因此將原始信號(hào)乘上指數(shù)信號(hào)之后一般都能滿足傅里葉變換的條件，這種變換就是拉普拉斯變換。這種變換能將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，在18世紀(jì)計(jì)算機(jī)還遠(yuǎn)未發(fā)明的時(shí)候，意義非常重大。從上面的分析可以看出，傅里葉變換可以看做是拉普拉斯的一種特殊形式，即所乘的指數(shù)信號(hào)為exp(0)。也即是說拉普拉斯變換是傅里葉變換的推廣，是一種更普遍的表達(dá)形式。在進(jìn)行信號(hào)與系統(tǒng)的分析過程中，可以先得到拉普拉斯變換這種更普遍的結(jié)果，然后再得到傅里葉變換這種特殊的結(jié)果。這種由普遍到特殊的解決辦法，已經(jīng)證明在連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的分析中能夠帶來很大的方便。

　　Z變換可以說是針對(duì)離散信號(hào)和系統(tǒng)的拉普拉斯變換，由此我們就很容易理解Z變換的重要性，也很容易理解Z變換和傅里葉變換之間的關(guān)系。Z變換中的Z平面與拉普拉斯中的S平面存在映射的關(guān)系，z=exp(Ts)。在Z變換中，單位圓上的結(jié)果即對(duì)應(yīng)離散時(shí)間傅里葉變換的結(jié)果。