淺說(shuō)非線性及其有限元分析

        世界是非線性的。但是，人類(lèi)對(duì)它的認(rèn)識(shí)卻是從簡(jiǎn)單的線性開(kāi)始的。早在公元前500年左右，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就發(fā)現(xiàn)了自然數(shù)是按照均勻的線性關(guān)系增加的。

        到了18世紀(jì)，法國(guó)大數(shù)學(xué)家拉普拉斯首先認(rèn)識(shí)到，自然界也許不是一個(gè)簡(jiǎn)單的線性世界。他曾說(shuō)，如果世界是線性的，則一旦初始條件確定，則世界就按簡(jiǎn)單、均勻的規(guī)則發(fā)展，那么，這個(gè)世界也未免太簡(jiǎn)單、太單調(diào)了。

        到了19世紀(jì)，隨著力學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家們首次發(fā)現(xiàn)了非線性的微分方程，這類(lèi)方程與通常的線性的微分方程相比，方程中多了一個(gè)或幾個(gè)非線性的項(xiàng)，正是非線性項(xiàng)的存在，使方程由簡(jiǎn)單的線性變成了復(fù)雜的非線性。當(dāng)時(shí)，這類(lèi)方程較多地出現(xiàn)在空氣動(dòng)力學(xué)方程與流體力學(xué)方程之中。而法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊則是最早研究此類(lèi)方程的人，由此，他得出結(jié)論：自然界從廣義上講是由非線性構(gòu)成的，線性只是一個(gè)特例。

        公認(rèn)的對(duì)現(xiàn)代非線性理論做出杰出貢獻(xiàn)的是荷蘭的一位氣象學(xué)家，叫洛倫茲，正是他開(kāi)啟了人類(lèi)認(rèn)識(shí)非線性世界的大門(mén)。在非線性世界中，結(jié)果對(duì)初始條件有著很大的依賴(lài)性，只要初始條件有一點(diǎn)微小的變化，隨著時(shí)間的推移，結(jié)果會(huì)越來(lái)越發(fā)生質(zhì)的變化，洛倫茲將非線性世界的這一特征稱(chēng)為“混沌效應(yīng)”。

        因此，線性只是我們對(duì)復(fù)雜物理現(xiàn)象的簡(jiǎn)化，非線性才是客觀世界的常態(tài)。

將非線性狀態(tài)抽象分類(lèi)出來(lái)主要是三類(lèi)：

• 材料非線性

• 幾何非線性

• 邊界非線性

● 材料非線性

        材料非線性是指材料屬性會(huì)隨某些變量變化時(shí)，顯示出非線性特征。所有的工程材料本質(zhì)上都是非線性的，因?yàn)闊o(wú)法找到單一的本構(gòu)關(guān)系滿(mǎn)足不同的條件，比如加載、溫度和應(yīng)變率。

材料非線性的簡(jiǎn)單分類(lèi)：

• 非線性彈性

• 超彈性

• 理想彈-塑性

• 彈性-時(shí)間無(wú)關(guān)塑性

• 時(shí)間相關(guān)塑性（蠕變）

• 應(yīng)變率相關(guān)彈-塑性

• 溫度相關(guān)的彈性和塑性

● 幾何非線性

        幾何非線性可能與大應(yīng)變、大轉(zhuǎn)角、大變形幾種情況有關(guān)，這個(gè)并不是由于材料特性發(fā)生了變化，而是由于幾何形狀變化，造成剛度矩陣需要跟隨幾何形狀變化，從而影響最終結(jié)果。當(dāng)形變非常大，造成應(yīng)變非常高的時(shí)候，也有可能同時(shí)存在材料高度非線性。

● 邊界非線性

        最典型的邊界非線性就是力學(xué)分析中的接觸，包括摩擦，碰撞等等。如兩個(gè)或更多個(gè)部件彼此接觸或相互干擾，則組件的這種剛度也會(huì)變化并改變。

        在實(shí)際工程中，產(chǎn)品結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)常常會(huì)被優(yōu)化，讓荷載接近材料強(qiáng)度，以充分利用材料性能，在這種情況下，為了準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，有必要進(jìn)行非線性有限元分析。

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