一文講透一階系統(tǒng)的系統(tǒng)響應(yīng)、傳遞函數(shù)和輸出響應(yīng)

作者：時(shí)間：2019-01-09 來源：網(wǎng)絡(luò)

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　　一：一階系統(tǒng)響應(yīng)定義

本文引用地址：http://m.butianyuan.cn/article/201901/396516.htm

　　通常來講，一階系統(tǒng)分為電壓驅(qū)動(dòng)一階系統(tǒng)(a)以及電流驅(qū)動(dòng)一階系統(tǒng)(b)，如下圖所示：

　　這兩個(gè)一階系統(tǒng)在線路上是完全等效的。它們的階躍響應(yīng)如下：

　　電壓或者電流的上升時(shí)間在這里定義為從10%開始，上升到90%結(jié)束所需要的時(shí)間。對(duì)于一階系統(tǒng)，可以推導(dǎo)出上升時(shí)間為：

　　帶寬定義為AC輸入信號(hào)激勵(lì)下輸出響應(yīng)幅值降到直流信號(hào)幅值的70.7%(或-3dB)所對(duì)應(yīng)的頻率。

　　一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表達(dá)式如下：

　　由此可以推導(dǎo)出一階系統(tǒng)的帶寬為：

　　由以上數(shù)學(xué)表達(dá)式，我們很容易得出一階系統(tǒng)的上升時(shí)間與帶寬的關(guān)系為：

　　由此可知，一階系統(tǒng)的上升時(shí)間與帶寬成反比，這也就是為什么我們經(jīng)常說帶寬變寬，系統(tǒng)響應(yīng)速度會(huì)變快的理論解釋。

　　二：一階系統(tǒng)在低頻和高頻下的近似響應(yīng)

　　從一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，我們知道一階系統(tǒng)的幅值，相角以及群延時(shí)的表達(dá)式如下：

　　其中群延時(shí)是表征系統(tǒng)中頻率信號(hào)所經(jīng)歷的延時(shí)時(shí)間。

　　一階系統(tǒng)只有一個(gè)極點(diǎn)，接下來我們看看此一階系統(tǒng)在低頻和高頻下的行為是怎么樣的，低頻或者高頻都是相對(duì)極點(diǎn)頻率所言。對(duì)于高頻，我們假定wτ?1，此時(shí)一階系統(tǒng)的幅值、相角以及群延時(shí)近似為：

　　因此，對(duì)于高頻一階系統(tǒng)，傳遞函數(shù)的幅值近似以20dB/十倍頻的速度衰減，相移近似為-90度，群延時(shí)隨著頻率的平方減少，頻率高的信號(hào)比頻率低的信號(hào)群延時(shí)要少。

　　對(duì)于低頻信號(hào)，即wτ?1，我們可以近似得到如下傳函：

　　因此，對(duì)于低頻一階系統(tǒng)，傳遞函數(shù)的幅值近似為單位1，負(fù)的相移與頻率近似成線性關(guān)系。群延時(shí)只與時(shí)間常數(shù)有關(guān)，也就是說，極點(diǎn)會(huì)貢獻(xiàn)有限的相移。比如頻率比極點(diǎn)頻率低10倍頻的頻率點(diǎn)，極點(diǎn)會(huì)貢獻(xiàn)約-5.7度的相移。如果負(fù)的相移過大，就會(huì)引起系統(tǒng)振蕩。

　　三：一階系統(tǒng)階躍短時(shí)輸出響應(yīng)

　　接下來，我們研究一下當(dāng)一階系統(tǒng)發(fā)生階躍響應(yīng)后，在起始很短一段時(shí)間內(nèi)(遠(yuǎn)小于一階系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)τ)的輸出是什么樣子的。因?yàn)檫@一結(jié)論在實(shí)際工程應(yīng)用中更為常見。