基于Kane方法的工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)柔性動(dòng)力學(xué)模型研究*

*基金項(xiàng)目：工業(yè)和信息化部2020年產(chǎn)業(yè)技術(shù)基礎(chǔ)公共服務(wù)平臺(tái)—工業(yè)機(jī)器人核心關(guān)鍵技術(shù)驗(yàn)證與支撐保障服務(wù)平臺(tái)建設(shè)項(xiàng)目（2020-0097-1-1）

現(xiàn)有工業(yè)機(jī)器人控制領(lǐng)域，已建立基于機(jī)器人全剛性連接假設(shè)的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型^[1][2][3]，基于該模型實(shí)時(shí)引入動(dòng)力學(xué)前饋控制量，可在一定程度上改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，但卻不可避免地導(dǎo)致了系統(tǒng)末端抖動(dòng)和不穩(wěn)定性^[4]。已有研究表明，機(jī)器人系統(tǒng)中的柔性因素（關(guān)節(jié)柔性）可影響末端執(zhí)行器的定位精度與運(yùn)行穩(wěn)定性^[5]，建立考慮機(jī)器人柔性因素的動(dòng)力學(xué)模型，對分析確定機(jī)器人末端抖動(dòng)的根源至關(guān)重要，同時(shí)可為后續(xù)優(yōu)化控制提供基礎(chǔ)^[6]。此外，提高機(jī)器人柔順性具有廣闊的應(yīng)用前景，但柔性動(dòng)力學(xué)模型建立及其控制也存在一定挑戰(zhàn)性^[7]。

本文首先建立了基于Kane 方法的傳統(tǒng)剛性動(dòng)力學(xué)模型，通過對機(jī)器人系統(tǒng)的關(guān)節(jié)耦合特性進(jìn)行研究，分析了該模型缺陷和潛在導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定及末端抖動(dòng)原因，針對此問題對剛性動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行改進(jìn)；考慮關(guān)節(jié)柔性因素提出基于Kane 方法的工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)柔性動(dòng)力學(xué)模型，旨在更準(zhǔn)確反映機(jī)器人機(jī)電系統(tǒng)的固有特征，提高前饋控制準(zhǔn)確性，從而改善系統(tǒng)控制特性。

1   機(jī)電系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型建模方法

理想情況下，機(jī)電系統(tǒng)認(rèn)為是剛性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，控制如圖1 所示。

圖1 剛性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)（機(jī)電系統(tǒng)）

基于剛性動(dòng)力學(xué)模型基礎(chǔ)，根據(jù)圖2 工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，考慮關(guān)節(jié)柔性因素，可改進(jìn)為柔性動(dòng)力學(xué)模型。

動(dòng)力學(xué)建模目前有許多較為成熟的方法可供使用，較為常用的包括：Newton-Euler 方法；Lagrange 方程；Kane 方法。這些方法思路不同，但均可根據(jù)動(dòng)力學(xué)普遍方程相互轉(zhuǎn)化，在本文采用Kane 方法進(jìn)行研究，可建立如下形式方程：

MX+CX+KX=F

2   基于Kane方法的剛性系統(tǒng)模型

2.1 剛性系統(tǒng)模型

Kane 方法基于偏速度與偏角速度的概念，即運(yùn)動(dòng)過程中某一位置點(diǎn)與廣義坐標(biāo)的相對關(guān)系。剛性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型可基于各個(gè)連桿的廣義主動(dòng)力與廣義慣性力獲取。

在工業(yè)機(jī)器人上選取各個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的廣義坐標(biāo)，將各個(gè)連桿的角速度與線速度表示在其坐標(biāo)系中，構(gòu)建DH 矩陣：

為簡化后續(xù)的分析，在各個(gè)連桿上建立固結(jié)于連桿的坐標(biāo)系，并將各個(gè)連桿的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)在局部坐標(biāo)系中表示。

● 連桿角速度

● 連桿角加速度

● 連桿線速度

● 連桿線加速度

● 連桿質(zhì)心的速度

在Kane 方法中，需要引入偏速度的概念

● 連桿偏角速度

● 連桿偏速度

在動(dòng)力學(xué)廣義慣性力為連桿旋轉(zhuǎn)的慣性力，可表示為：

其中，

對每一個(gè)自由度應(yīng)用Kane 方程，可得：

從而可得動(dòng)力學(xué)方程：

對于剛性模型的動(dòng)力學(xué)方程，q 為電機(jī)輸出的轉(zhuǎn)角，因此關(guān)于q 的信息已知，通過給定的運(yùn)動(dòng)，可以獲知給定狀態(tài)下的電機(jī)扭矩。

剛性動(dòng)力學(xué)模型在給定的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速下，可以確定末端的位置姿態(tài)以及關(guān)節(jié)扭矩，可作為動(dòng)力學(xué)前饋控制基礎(chǔ)，用于提升機(jī)器人控制的精度和響應(yīng)。但由于運(yùn)動(dòng)中擾動(dòng)的存在以及動(dòng)力學(xué)建模中不可避免的誤差，實(shí)際的機(jī)器人控制系統(tǒng)不能完全依賴于動(dòng)力學(xué)模型，而需要進(jìn)行實(shí)時(shí)反饋控制。且理想的剛性連接假設(shè)前提下，動(dòng)力學(xué)模型忽略了關(guān)節(jié)非線性因素，將引發(fā)機(jī)器人系統(tǒng)在部分位姿控制中產(chǎn)生諧振及動(dòng)態(tài)響應(yīng)遲滯現(xiàn)象，進(jìn)而導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定及末端抖動(dòng)。

2.2   關(guān)節(jié)柔性模型

當(dāng)考慮關(guān)節(jié)柔性時(shí)，各個(gè)連桿的遞推關(guān)系為：

● 連桿角速度

● 連桿線速度

● 連桿線加速度

● 連桿質(zhì)心的速度

當(dāng)考慮關(guān)節(jié)柔性時(shí)，各個(gè)連桿的偏速度可表示為：

● 連桿偏角速度

● 連桿偏速度

● 連桿質(zhì)心偏速度

與剛性模型相比，利用Kane 方法得到的各個(gè)自由度的方程針對于連桿在彈簧變性后的轉(zhuǎn)角，針對電機(jī)輸出的自由度：

● 廣義慣性力

● 廣義主動(dòng)力

利用Kane 方程可建立考慮關(guān)節(jié)柔性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型：

所導(dǎo)出的方程為12 個(gè)2 階微分方程，當(dāng)考慮關(guān)節(jié)柔性的影響時(shí)，原有的微分方程將轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

此時(shí)的微分方程組為時(shí)變微分方程，需要進(jìn)行數(shù)值求解。由該方程的形式可知，該方程為時(shí)變非線性微分方程，其系數(shù)矩陣中，質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣以及剛度矩陣均為坐標(biāo)的函數(shù)，這使得該方程難以得到解析解，可以使用的Newmark-β 方法，進(jìn)行求解，具有二階精度。

目前這一探索性研究已應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人機(jī)電系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型構(gòu)建，與伺服控制實(shí)際應(yīng)用具有吻合性。這一柔性動(dòng)力學(xué)建模方法在控制領(lǐng)域的意義在于，可將這一方法應(yīng)用于高速高精度應(yīng)用場景的機(jī)器人軌跡控制，特別是要求低振動(dòng)的平穩(wěn)軌跡應(yīng)用，例如切割、涂膠等，這在實(shí)際工程中是常見的。

3   結(jié)論

本文通過建立了工業(yè)機(jī)器人剛性動(dòng)力學(xué)模型，作為動(dòng)力學(xué)前饋控制基礎(chǔ)，用于提升機(jī)器人控制的精度和響應(yīng)，并分析了該模型忽略關(guān)節(jié)非線性特性帶來的潛在問題。針對剛性動(dòng)力學(xué)模型潛在問題，考慮關(guān)節(jié)柔性因素，推導(dǎo)出關(guān)節(jié)柔性動(dòng)力學(xué)模型，此模型更接近機(jī)器人真實(shí)固有特性，可實(shí)現(xiàn)機(jī)器人更高精度和更高帶寬的動(dòng)態(tài)控制，降低末端抖動(dòng)并提高系統(tǒng)穩(wěn)定性。通過Kane 方法推導(dǎo)建立數(shù)學(xué)模型，論證了其可行性，為類似機(jī)電系統(tǒng)建模提供指導(dǎo)。

參考文獻(xiàn)：

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（本文來源于《電子產(chǎn)品世界》雜志2022年3月期）