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控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

作者: 時(shí)間:2012-03-17 來源:網(wǎng)絡(luò) 收藏

信號(hào)流程圖和梅遜公式

方塊圖對于圖解表示,是很有用的。但是當(dāng)系統(tǒng)很復(fù)雜時(shí),方塊圖的簡化過程是很繁雜的。信號(hào)流程圖,是另一種表示復(fù)雜中系統(tǒng)變量之間關(guān)系的方法。這種方法是S.J.梅遜(Mason)首先提出的。

信號(hào)流圖 信號(hào)流圖,是一種表示一組聯(lián)立線性代數(shù)方程的圖。當(dāng)將信號(hào)流圖法應(yīng)用于時(shí),首先必須將線性微分方程變換為以s為變量的代數(shù)方程。

信號(hào)流圖是由網(wǎng)絡(luò)組成的,網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)用定向支線段連接。每一個(gè)節(jié)點(diǎn)表示一個(gè)系統(tǒng)變量,而每兩節(jié)點(diǎn)之間的聯(lián)結(jié)支路相當(dāng)于信號(hào)乘法器。應(yīng)當(dāng)指出,信號(hào)只能單向流通。信號(hào)流的方向由支路上的箭頭表示,而乘法因子則標(biāo)在支路線上。信號(hào)流圖描繪了信號(hào)從系統(tǒng)中的一點(diǎn)流向另一點(diǎn)的情況,并且表明了各信號(hào)之間的關(guān)系。

正如所料,信號(hào)流圖基本上包含了方塊圖所包含的信息。用信號(hào)流圖表示控制系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn),可以應(yīng)用所謂梅遜增益公式。根據(jù)該公式,不必對信號(hào)流圖進(jìn)行簡化,就可以得到系統(tǒng)中各變量之間的關(guān)系。

定義 在討論信號(hào)流圖之前,首先必須定義如下一些術(shù)語:

節(jié)點(diǎn),節(jié)點(diǎn)用來表示變量或信號(hào)的點(diǎn)。
傳輸,兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的增益叫傳輸。
支路,支路是連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的定向線段。支路的增益為傳輸。
輸出節(jié)點(diǎn)或源點(diǎn),只有輸出支路的節(jié)點(diǎn),叫輸出節(jié)點(diǎn)或源點(diǎn)。它對應(yīng)于自變量。
輸入節(jié)點(diǎn)或阱點(diǎn),只有輸入支路的節(jié)點(diǎn),叫輸入節(jié)點(diǎn)或阱點(diǎn)。它對應(yīng)于因變量。
混合節(jié)點(diǎn),既有輸入支路,又有輸出支路的節(jié)點(diǎn),叫混合節(jié)點(diǎn)。
通道,沿支路箭頭方向而穿過各相連支路的途徑,叫通道。如果通道與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次,就叫做開通道。如果通道的終點(diǎn)就是通道的起點(diǎn),并且與任何其它節(jié)點(diǎn)相交不多于一次,就叫做閉通道。如果通道通過某一節(jié)點(diǎn)多于一次,但是終點(diǎn)與起點(diǎn)在不同的節(jié)點(diǎn)上,那么這個(gè)通道既不是開通道,又不是閉通道。
回路,回路就是閉通道。
回路增益,回路中各支路傳輸?shù)某朔e,叫回路增益。
不接觸回路,如果一些回路沒有任何公共節(jié)點(diǎn),就把它們叫做不接觸回路。
前向通道,如果從輸出節(jié)點(diǎn)(源點(diǎn))到輸入節(jié)點(diǎn)(阱點(diǎn))的通道上,通過任何節(jié)點(diǎn)不多于一次,則該通道叫做前向通道。
前向通道增益,前向通道中,各支路傳輸?shù)某朔e,叫前向通道增益。

圖2-9表示了節(jié)點(diǎn)、支路和支路傳輸。

信號(hào)流圖的性質(zhì) 下面介紹一些信號(hào)流圖的重要性質(zhì)。

1. 支路表示了一個(gè)信號(hào)對另一個(gè)信號(hào)的函數(shù)關(guān)系。信號(hào)只能沿著支路上的箭頭方向通過。
2. 節(jié)點(diǎn)可以把所有輸入支路的信號(hào)疊加,并把總和信號(hào)傳送到所有支路。
3. 具有輸入和輸出支路的混合節(jié)點(diǎn),通過增加一個(gè)具有單位傳輸?shù)闹?,可以把它變成輸出?jié)點(diǎn)來處理。(見圖2-9,注意,具有單位傳輸?shù)闹窂膞3指向另一個(gè)節(jié)點(diǎn),后者也以x3表示。)當(dāng)然,應(yīng)當(dāng)指出,用這種方法不能將混合節(jié)點(diǎn)改變?yōu)樵袋c(diǎn)。
4. 對于給定的系統(tǒng),信號(hào)流圖不是唯一的。由于同一系統(tǒng)的方程可以寫成不同的形式,所以對于給定的系統(tǒng),可以畫出許多種不同的信號(hào)流圖。

信號(hào)流圖代數(shù) 根據(jù)前面的定義,可以畫出線性系統(tǒng)的信號(hào)流圖。這樣做時(shí),通常將輸出節(jié)點(diǎn)(源點(diǎn))放在左面,而輸入節(jié)點(diǎn)(阱點(diǎn))放在右面。方程式的自變量和因變量,分別變?yōu)檩敵龉?jié)點(diǎn)(源點(diǎn))和輸入節(jié)點(diǎn)(阱點(diǎn))。支路的傳輸可由方程的系數(shù)得到。

為了確定輸入-輸出關(guān)系,可以采用梅遜公式。這個(gè)公式后面將要介紹。也可以將信號(hào)流圖簡化成只包含輸出和輸入節(jié)點(diǎn)的形式。為了進(jìn)行這種簡化,需采用下列規(guī)則:

1. 如圖2-10(a)所示,只有一個(gè)輸出支路的節(jié)點(diǎn)的值為x2=ax1。
2. 串聯(lián)支路的總傳輸,等于所有支路傳輸?shù)某朔e。因此,通過傳輸相乘,可以將串聯(lián)支路合并為單一支路,如圖2-10(b)所示。
3. 通過傳輸相加,可以將并聯(lián)支路合并為單一支路,如圖2-10(c)所示。
4. 混合節(jié)點(diǎn)可以消掉,如圖2-10(d)所示。
5. 回路可以消掉,如圖2-10(e)所示。


圖2-10信號(hào)流圖及其簡化

梅遜公式 用梅遜公式可以直接求信號(hào)流圖的傳輸。表示為

(2-18)

式中,Pk=第k條前向通道的通道增益或傳輸;

Δ=流圖的特征式
=1-(所有不同回路的增益之和)+(每兩個(gè)互不接觸回路增益乘積之和)
-(每三個(gè)互不接觸回路增益乘積之和)+…


Δk=在除去與第k條前向通道相接觸的回路的流圖中,第k條前向通道特征式的余因子。

總之,熟悉了梅遜公式之后,根據(jù)它去求解系統(tǒng)的傳輸,遠(yuǎn)比用方塊圖變換方法簡便有效,對于復(fù)雜的多環(huán)系統(tǒng)和多輸入、多輸出系統(tǒng)尤其明顯。因此,信號(hào)流圖得到了廣泛的實(shí)際應(yīng)用,并常用于控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)。

例2-4 將圖2-11所示的系統(tǒng)方框圖化為信號(hào)流圖之。求系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。

圖2-11 多回路系統(tǒng)
圖2-12 圖2-11所示系統(tǒng)的信號(hào)流圖

在這個(gè)系統(tǒng)中,輸入量R(s)和輸出量C(s)之間,只有一條前向通道。前向通道的增益為
P1=G1G2G3
從圖2-12可以看出,這里有三個(gè)單獨(dú)的回路。這些回路的增益為


L1=G1G2H1
L2=-G2G3H2
L3=-G1G2G3

應(yīng)當(dāng)指出,因?yàn)樗腥齻€(gè)回路具有一條公共支路,所以這里沒有不接觸的回路。因此,特征式Δ為
Δ=1-(L1+L2+L3)
=1-G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3
沿聯(lián)接輸入節(jié)點(diǎn)和輸出節(jié)點(diǎn)的前向通道,特征式的作因子Δ1,可以通過除去與該通道接觸的回路的方法而得到。因?yàn)橥ǖ繮1與三個(gè)回路都接觸,所以得到
Δ1=1
因此,輸入量R(s)和輸出量C(s)之間的總增益,或閉環(huán)傳遞函數(shù)為

這與通過方塊圖簡化所得到的閉環(huán)傳遞函數(shù)完全相同。這樣,利用梅遜公式,不必對流圖進(jìn)行簡化,就能夠求得總增益C(s)/R(s)。

例2-5 根據(jù)梅遜公式求圖2-13的信號(hào)流圖的總傳輸。

圖2-13 例2-5中系統(tǒng)的信號(hào)流圖

解 此系統(tǒng)有六個(gè)回環(huán),即ab、cd、ef、ij和kfdb,因此

兩個(gè)互不接觸的回環(huán)有七種組合,即abef、abgh、abij、cdgh、cdij、efij及kfdbij,所以

三個(gè)互不接觸的回環(huán)只有ab、ef和ij,故

由此可求特征式

從源點(diǎn)到阱點(diǎn)有兩條前向通道。一條為acegi,它與所有的回環(huán)均有接觸,因此
P1=acegi
Δ1=1


另一條前向通道為kgi它不與回環(huán)cd接觸,所以
P2=kgi
Δ2=1-cd


將以上結(jié)果代入式(2-18),可得總傳輸

例2-6 已知RC電路如圖2-14所示,請畫出其結(jié)構(gòu)圖。

圖2-14 例2-6題圖

解:根據(jù)電路的特性,由圖可知

中間回路:

(2-21)

由(2-19)式知:

(2-22)

由(2-21)式知:

(2-23)

由(2-20)式知:

(2-24)

則由(2-22)、(2-23)、(2-24)式求出結(jié)構(gòu)圖如下:

圖2-15 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

在這一類系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的求解過程中,需要注意的是,其解不是唯一的。

狀態(tài)空間模型的簡介

狀態(tài)空間分析法是現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ),不僅可以描述系統(tǒng)的輸入輸出之間的關(guān)系,而且還可以描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性,是一種內(nèi)部描述,特別適用于多輸入多輸出系統(tǒng),也適用于時(shí)變系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)和隨機(jī)控制系統(tǒng),它采用狀態(tài)空間表達(dá)式作為描述系統(tǒng)的。是對系統(tǒng)的一種完全描述。

2.7.1 狀態(tài)、狀態(tài)變量及狀態(tài)空間方程

這里介紹有關(guān)狀態(tài)、狀態(tài)變量及狀態(tài)空間方程等的基本概念。

1. 狀態(tài) 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)是系統(tǒng)的最小一組變量(稱為狀態(tài)變量),只要知道了在t=t0時(shí)的一組變量和t3t0時(shí)的輸入量,就能夠完全確定系統(tǒng)在任何t3t0時(shí)刻的行為。
2. 狀態(tài)變量 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)變量是確定動(dòng)態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)的最小一組變量。如果至少需要n個(gè)變量x1,x2,××× ,xn才能完全描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的行為(即一旦給出t3t0時(shí)的輸入量,并且給定t=t0時(shí)的初始狀態(tài),就可以完全確定系統(tǒng)的未來狀態(tài)),則這個(gè)變量就是一組狀態(tài)變量。
3. 狀態(tài)向量 如果完全描述一個(gè)給定系統(tǒng)的行為需要n個(gè)狀態(tài)變量,那么這n個(gè)狀態(tài)變量可以看作是向量X的n個(gè)分量,該向量就稱為狀態(tài)向量。因此,狀態(tài)向量也是一種向量,一旦t=t0時(shí)的狀態(tài)給定,并且給出t3t0時(shí)的輸入量U(t),則任意時(shí)間t3t0時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)X(t)便可以唯一地確定。
4. 狀態(tài)空間 由x1軸,x2軸,××× ,xn軸所組成的n維空間稱為狀態(tài)空間。任何狀態(tài)都可以用狀態(tài)空間中的一點(diǎn)來表示。
5. 狀態(tài)方程 用狀態(tài)變量描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程。

2-A1 狀態(tài)空間模型的概念說明

已知系統(tǒng)

其狀態(tài)方程可以用下列方程描述:

(2-25)

由上式可知,如果已知uc(t)和i(t)的初始值,以及在t3t0時(shí)的外加輸入信號(hào),就能夠完全唯一地確定在t3t0時(shí)的任何時(shí)間的系統(tǒng)狀態(tài)。狀態(tài)方程也可以寫成矩陣方程的形式。例如:

(2-26)

通常,用x表示狀態(tài)矢量,用x1,x2,... 表示其分量。對于上式,如令

式(2-26)又可寫為

(2-27)

此處其輸出方程為

(2-28)

此處

需要指出的是,從理論上講,描述系統(tǒng)狀態(tài)的狀態(tài)變量的選擇不是唯一的,可以有無窮多個(gè)解。

2.7.2 線性定??刂葡到y(tǒng)的狀態(tài)方程描述

本教材研究對象主要為線性定常系統(tǒng),這里簡單介紹一下線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程:

1. 單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程

(2-29)

式中y為輸出量,x為輸入量,a1、a2、...、an和bn為常系數(shù)。

當(dāng)令

此時(shí),可將式(2-29)改寫為n個(gè)一階微分方程,即

或用矩陣方程表示:

上式可簡寫為

式中

系統(tǒng)的輸出方程為

2. 多變量線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程

推廣到多變量線性定常系統(tǒng)的一般情況,此時(shí)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)可表示為:

式中 i=1,2,...,n;j=1,2,...,m??捎镁仃嚪匠瘫硎緸椋?/P>

此處


2.7.3線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖

系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程也可以用結(jié)構(gòu)圖的方式表達(dá)出來,它形象地說明了系統(tǒng)輸入、輸出和系統(tǒng)狀態(tài)之間的信息傳遞關(guān)系。在采用模擬計(jì)算機(jī)對系統(tǒng)仿真時(shí),它更是一個(gè)得力的工具。圖2- 16所示為n維線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。


圖2-16 n維線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

同樣,也可以畫出n維線性定常系統(tǒng)的信號(hào)流圖(見圖2-17所示)。


圖2-17 n維線性系統(tǒng)的信號(hào)流圖


2.7.3線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖

下面仔細(xì)分析一下單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與狀態(tài)空間之間的關(guān)系:
設(shè)所要研究系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:

該系統(tǒng)在狀態(tài)空間中可以用下列方程表示:

(2-30)

(2-31)

式中X為狀態(tài)向量,u為輸入量,y為輸出量。則當(dāng)滿足零初始條件時(shí),式(2-30)及(2-31)的拉普拉斯變換為:

用(sI-A)-1左乘式(2-32)等號(hào)兩邊,得到:
X(s)=(sI-A)-1BU(s) (2-34)
把方程(2-34)代入(2-33),得到

(2-35)

由方程(3-35)可以看出

這就是以A、B、C和D的形式表示的傳遞函數(shù)。應(yīng)該指出,傳遞函數(shù)矩陣具有不變性,亦即,對狀態(tài)方程進(jìn)行線性變換后,其對應(yīng)的傳遞函數(shù)矩陣應(yīng)該不變,從而保證了所描述系統(tǒng)的輸入-輸出特性不變。

的MATLAB描述

控制系統(tǒng)常用的有三種:傳遞函數(shù)、零極點(diǎn)增益和狀態(tài)空間。每種模型均有連續(xù)/離散之分,它們各有特點(diǎn),有時(shí)需在各種模型之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。本節(jié)主要介紹它們的MATLAB表示及三種模型之間的相互轉(zhuǎn)換。

2.8.1連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的MATLAB表示

1. 傳遞函數(shù)模型

當(dāng):

則在MATLAB中,直接用分子/分母的系數(shù)表示,即
num=[b0,b1,…,bm];
den = [a0,a1,…,an];

例2-7 用MATLAB表示傳遞函數(shù)為 的系統(tǒng)。


解:在MATLAB環(huán)境下輸入
ng=[1 1]; dg=[1 3 2];
printsys(ng,dg) %此處printsys命令是傳遞函數(shù)顯示命令。


則執(zhí)行后得到如下結(jié)果:

2. 零極點(diǎn)增益模型

當(dāng):

時(shí)

則在MATLAB中,用[z,p,k]矢量組表示,即
z=[z0,z1,…,zm];
p=[p0,p1,…,pn];
k=[k];

例2-8 用MATLAB表示傳遞函數(shù)為 的系統(tǒng)。


解:在MATLAB環(huán)境下輸入
z=-1; p=[0 -1 -2]; k=1.5;
[num,den]=zp2tf[z,p,k];
printsys(num,den) %此處printsys命令是傳遞函數(shù)顯示命令。
則執(zhí)行后得到如下結(jié)果:

3. 狀態(tài)空間模型

當(dāng):

時(shí)

則在MATLAB中,該控制系統(tǒng)可用(a,b,c,d)矩陣組表示。

4. 傳遞函數(shù)的部分分式展開

當(dāng):

時(shí)

在MATLAB中直接用分子/分母的系數(shù)表示時(shí)有
num=[b0,b1,…,bm];
den = [a0,a1,…,an];
則命令
[r,p,k] = residue(num,den)
將求出兩個(gè)多項(xiàng)式Y(jié)(s)和X(s)之比的部分分式展開的留數(shù)、極點(diǎn)和直接項(xiàng)。Y(s)/X(s)的部分分式展開由下式給出:

例2-A2 考慮下列傳遞函數(shù):

命令 [r,p,k] = residue(num,den)
將給出下列結(jié)果:

[r,p,k]=residue(num,den)
r=
-6.000
-4.000
3.000
p=
-3.000
-2.000
-1.000
k=
2

留數(shù)為列向量r,極點(diǎn)位置為列向量p,直接項(xiàng)是行向量k。以下是Y(s)/X(s)的部分分式展開的MATLAB表達(dá)形式:

命令
[num,den] = residue(r,p,k)


執(zhí)行后得到如下結(jié)果:

[num,den]=residue(r,p,k)
num=
2.0000 5.0000 3.0000 6.0000
den=
1.0000 6.0000 11.0000 6.0000



2.8.2離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的MATLAB表示

1. 傳遞函數(shù)模型:

2. 零極點(diǎn)增益模型:

3. 狀態(tài)空間模型:

2.8.3模型之間的轉(zhuǎn)換

同一個(gè)控制系統(tǒng)都可用上述三種不同的模型表示,為分析系統(tǒng)的特性,有必要在三種模型之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。MATLAB的信號(hào)處理和控制系統(tǒng)工具箱中,都提供了模型變換的函:ss2tf,ss2zp,tf2ss,tf2zp,zp2ss,zp2tf,它們的關(guān)系可用圖2-17所示的結(jié)構(gòu)來表示。


圖2-18 三種模型之間的轉(zhuǎn)換

說明:

ss2tf命令:將狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)模型。
格式為:[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)
式中,iu為輸入的序號(hào)。轉(zhuǎn)換公式為

ss2zp命令:將狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換成零極點(diǎn)增益模型。
格式為:[Z, P, K]=ss2zp(A, B, C, D, iu)
式中,iu為輸入的序號(hào)。

tf2ss命令:將傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間模型。
格式為:[A, B, C, D]=tf2ss(num, den)

tf2zp命令:將傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成零極點(diǎn)增益模型。
格式為:[Z, P, K]=tf2zp(num, den)

zp2ss命令:將零極點(diǎn)模型轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間模型。
格式為:[A, B, C, D]=zp2ss(Z, P, K)

zp2tf命令:將零極點(diǎn)模型轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)模型。
格式為:[num, den]=zp2tf(Z, P, K)

2.8.4控制系統(tǒng)建模

對簡單系統(tǒng)的建??芍苯硬捎萌N基本模型:傳遞函數(shù)、零極點(diǎn)增益、狀態(tài)空間模型。但實(shí)際中經(jīng)常遇到幾個(gè)簡單系統(tǒng)組合成一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)。常見形式有:并聯(lián)、串聯(lián)、閉環(huán)及反饋等連接。

1. 并聯(lián):將兩個(gè)系統(tǒng)按并聯(lián)方式連接,在MATLAB中可用parallel函數(shù)實(shí)現(xiàn)。命令格式為:[nump, denp] = parallel(num1, den1, num2, den2) 其對應(yīng)的結(jié)果為:Gp(s)=G1(s)+G2(s)

2. 串聯(lián):將兩個(gè)系統(tǒng)按串聯(lián)方式連接,在MATLAB中可用series函數(shù)實(shí)現(xiàn)。命令格式為:[nums, dens] = series(num1, den1, num2, den2) 其對應(yīng)的結(jié)果為:Gs(s)=G1(s)+G2(s)

3. 閉環(huán):將系統(tǒng)通過正負(fù)反饋連接成閉環(huán)系統(tǒng),在MATLAB中可用feedback函數(shù)實(shí)現(xiàn)。命令格式為:[numf, denf] = feedback(num1, den1, num2, den2, sign) sign為可選參數(shù),sign=-1為負(fù)反饋,而sign=1對應(yīng)為正反饋。缺省值為負(fù)反饋。其對應(yīng)的結(jié)果為:

4. 單位反饋:將兩個(gè)系統(tǒng)按反饋方式連接成閉環(huán)系統(tǒng)(對應(yīng)于單位反饋系統(tǒng)),在MATLAB中可用cloop函數(shù)實(shí)現(xiàn)。命令格式為:[numc, denc] = cloop(num, den, sign) sign為可選參數(shù),sign=-1為負(fù)反饋,而sign=1對應(yīng)為正反饋。缺省值為負(fù)反饋。其對應(yīng)的結(jié)果為:

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