控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法--二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)

(2) 臨界阻尼情況（ζ=1）

如果C(s)/R(s)的兩個(gè)極點(diǎn)接近相等，則系統(tǒng)可近似看作臨界阻尼系統(tǒng)。對(duì)于單位階躍輸入量，R(s)=1/s，因而C(s)可表示為

上式的拉普拉氏反變換為：

(3) 過(guò)阻尼情況（ζ>1）

這種情況下，C(s)/R(s)的兩個(gè)極點(diǎn)是兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)數(shù)。對(duì)于單位階躍輸入量，R(s)=1/s，因此C(s)可以寫成

其拉普拉斯反變換為

式中 ，而 ，顯然，這時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)c(t)包含著兩個(gè)衰減的指數(shù)項(xiàng)。

當(dāng)ζ遠(yuǎn)大于1時(shí)，在兩個(gè)衰減的指數(shù)項(xiàng)中，一個(gè)比另一個(gè)衰減的要快得多，因此衰減得比較快的指數(shù)項(xiàng)（相應(yīng)于較小時(shí)間常數(shù)的指數(shù)項(xiàng)），就可以忽略不計(jì)。也就是說(shuō)，如果-s2與j 軸的距離比-s1要近得多（即|s₁|>>|s₂| ），那么在近似解中，可以忽略-s1，因?yàn)榉匠讨邪瑂1的項(xiàng)比包含s2的項(xiàng)衰減得快的多，所以-s1對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響，比-s2對(duì)系統(tǒng)的影響要小得多，因此忽略-s1是合理的。因此可以將C(s)/R(s)近似地表示為

這一近似函數(shù)形式是根據(jù)下述條件直接得到的，即原來(lái)的函數(shù)C(s)/R(s)與近似函數(shù)的初始值和最終值，兩者是完全相同的。

對(duì)于近似傳遞函數(shù)C(s)/R(s)，其單位階躍響應(yīng)可表示為

其時(shí)間響應(yīng)c(t)為

在過(guò)阻尼情況下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是隨時(shí)間推移而單調(diào)增長(zhǎng)，最后在t→∞時(shí)趨于穩(wěn)態(tài)值，所以最大超調(diào)量是零，調(diào)整時(shí)間可以用近似的單位階躍響應(yīng)估算，如借用一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的性質(zhì)，可以認(rèn)為響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的95%所需的調(diào)整時(shí)間

工程上，如果ζ》1.5時(shí)，使用上述近似式已有足夠的準(zhǔn)確度了。

當(dāng)系統(tǒng)為欠阻尼情況下，即0 ζ1時(shí)，二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的上升時(shí)間tr、峰值時(shí)間tp、最大超調(diào)量Mp的計(jì)算公式按式（3-13）可表示如下。

上升時(shí)間tr 令c(t)=1，代入式（3-13）中，即可求得tr。這時(shí)有

或

所以

（3-14）

由上式可見(jiàn)，如欲減小tr，當(dāng)ζ一定時(shí)，需增大ωn ，反之，若ωn一定時(shí)，則需減小ζ。

峰值時(shí)間tp 出現(xiàn)第一個(gè)峰時(shí)，單位階躍響應(yīng)隨時(shí)間的變化率為零。為求tp，可將式（3-13）對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，并令其為零。于是得

由此可知：

n=0、1、2、……

到達(dá)第一個(gè)峰值時(shí)應(yīng)有

故得

（3-15）

最大超調(diào)量Mp 最大超調(diào)量發(fā)生在t=tp，因此，令式（3-13）中的t=tp，并將tp值代入，即得以百分比表示的超調(diào)量

（3-16）

調(diào)整時(shí)間ts 對(duì)于欠阻尼二階系統(tǒng)，暫態(tài)響應(yīng)可由式（3-13）求得為

曲線 ，是系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入信號(hào)的暫態(tài)響應(yīng)曲線的包絡(luò)線，響應(yīng)曲線c(t)總是包含在一對(duì)包絡(luò)線之內(nèi)，如圖3-9所示。包絡(luò)線的時(shí)間常數(shù)為1/(ζωn)。這樣，當(dāng)采用5%允許誤差時(shí)，有

1+=1.05

由上式得

當(dāng)0 ζ 0.8時(shí)，則有

當(dāng)采用2%允許誤差時(shí)，則可推導(dǎo)得出

3.5.3二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)

當(dāng)輸入信號(hào)r(t)為單位脈沖函數(shù)時(shí)，相應(yīng)的拉普拉斯變換為1，即R(s)=1。則二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)C(s)為

這個(gè)方程的拉普拉斯反變換，就是時(shí)域響應(yīng)解c(t)，這時(shí)當(dāng)0≤ζ1時(shí)，

c(t)=(t≥0)

當(dāng)ζ=1時(shí)